内容发布更新时间 : 2024/5/29 19:21:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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蒋殿春《高级微观经济学》 第18章 委托—代理理论
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1．??x,??是?类的代理人的成本函数。在18.1.1节中我们说，如果??x,?1????x,?2?，且?x?x,?1???x?x,?2?成立，则这两类代理人的无差异曲线只相交一次，请证明这一点。
证明：两类代理人的无差异曲线满足方程：
u1?y1???x,?1? u2?y2???x,?2?
它们的差为：
?u?u2?u1?y2?y1???x,?1????x,?2?
对函数求导得到：
d?u??x?x,?1???x?x,?2??0 dx从而得到?u是严格单调函数，所以最多和x轴相交一次，即最多存在一个x，使得u2?u1。
另一方面，当x?0时，??x,?1??a1?0，??x,?2??a2?0。此时委托人的利润函数变为v??y，根据利润最大化原则，支付的工资为y1?y2?0。所以，当x?0时，两效用函数都
为0，无差异曲线相交。
2．参看图18-5中显示的两个分布密度函数：如果代理人的行动是a?，可能的产量将
??落在区间?内；另一个行动a?对应的产量区间是??a,?a????????a??,??a????。 ????的代理人处予足够大的惩罚，就能保 ?（1）证明：只要委托人对生产x?????a?,??a??证代理人选择a?；
（2）是否也存在适当的惩罚机制，保证代理人选择行动a?？ 解：（1）考虑一个简单的两段支付函数：
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????y1x????a??,??a??y??
?y???2x?????a?,??a??Born to win
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其中，y1和y2都是常数，y1?y2。在此支付结构下，代理人选择行动a?所获的期望效用为：
???????Eu?a???F????a?,a?u?y1??1?F?y1,??a??u?y2??a
??而选择行动a?所获的期望效用为：
Eu?a???u?y2??a?
要阻止代理人选择行动a?，只需：
???u?y1??1?F?y1,??a???u?y2??a??u?y2??a? F??a,a???????????由于F?，所以： ???a?,a??0u?y1??u?y2??a??a???F????a?,a??
由于效用函数是严格单增的，只要y2?y1?0足够大，上式便成立。
（2）与（1）相反，只要y2?y1?0，则保证代理人选择行动a?。
3．如果?1和?2两类代理人所占的比例分别是?和1??，?值的变化会如何影响委托人的最优契约？
解：在条件?1??2条件下，由最优契约条件（18.14）和（18.15），得到：
?x?x1a,?1??1?1????x?x1a,?2???x?x1a,?1???1
???a?x?x2,?2??1
当?趋近于1时，?x?x1a,?1?趋向于1。这表明y越大，委托人向低效率代理人提供的契约也就越趋近于最优契约。同时，委托人向高效率代理人提供的契约不随?的变化而改变。
4．如果18.1节模型中包含三种不同的代理人，利用微分方法或者几何方法说明，最优激励契约中效率较低的两类代理人的产量低于帕累托有效水平，但最有效率的一类代理人生产帕累托有效产量。
解：模型18.1的假设条件下，假设?1、?2和?3三类代理人所占的比例分别是?1、?2与1??1??2，则委托人的期望利润为：
E?v???1?x1?y1???2?x2?y2???1??1??2??x3?y3?
设各代理人的保留收益为u?0，他们面临的参与约束与自选择约束条件为：
代理人
1
参与约束
自选择约束 y1???x1,?1??y2???x2,?1?
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y1???x1,?1??y3???x3,?1?
y1???x1,?1??0（束紧）
y2???x2,?2??0
（束紧） y2???x2,?2??y1???x1,?2?y2???x2,?2??y3???x3,?2?
3
y3???x3,?3??0
y3???x3,?3??y1???x1,?3?
（束紧） y3???x3,?3??y2???x2,?3?在三个束紧的约束等式下，委托人的期望利润最大化问题变为：
max???1?x1?y1???2?x2?y2???1??1??2??x3?y3???
st..y1???x1,?1?
y2???x1,?1????x2,?2????x3,?3?
y3???x1,?1????x2,?2????x1,?2????x3,?3????x2,?3?
一阶必要条件是：
1??1??x?x1a,?2????x?x1a,?1? ?x?x1a,?1??1???1?a?x?x2,?2??1?1??1??2?2aa??x?x2,?3??????x?x2,?2?
a?3?x3,?3??1
由于?x??0，且?1??2??3，故而有：
aa?x?x1a,?2???x?x1a,?1?，?x?x2,?3???x?x2,?2?
因此，由一阶必要条件易知：
??x?x1a,?1??1??x?x1,?1? a??x?x2,?2??1??x?x2,?2? a??3?x3,?3??1??3?x3,?3??1
a?a??x2?x3由于?x??0，故有x1a?x1?，x2，x3，即在最优激励契约中低效率的两类代理
人产量低于帕累托有效水平，而效率最高的代理人生产帕累托有效水平的产量。
5．考虑一个以边际成本c生产x商品的独占厂商，市场上有两种可能的消费者。两类消费者的效用函数分别是
U1?x,q??v?x??q，U2?x,q??2v?x??q
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其中q是消费者在其他所有商品上的消费，v??0，v???0。假设厂商是风险中立的，它无法识别具体消费者的特定类型。利用18.1节的模型，推导厂商的最优定价策略，确认“顶端不扭曲”原理。
解：厂商的期望利润为：
E??????p1?c?x1??1????p2?c?x2
消费者的参与约束与自选择约束条件分别为：
类型 1 2
参与约束
v?x1??p1x1?0（束紧）
2v?x2??p2x2?0
自选择约束
v?x1??p1x1?v?x2??p2x2
2v?x2??p2x2?2v?x1??p1x1（束紧）
假设厂商认为市场上两类消费者的比例分别为?和1??，厂商的期望利润最大化问题为：
max???v?x1??cx1????1?????2v?x2??2v?x1??v?x1??cx2??
??一阶必要条件为：
v??x1a??cca，v??x2? ?22??1a由于0???1，因此v??x1a??v??x2?；又因为v???0，故x1a?x2a，即低端市场1上的产品
供应水平低于最优水平，而在高端市场2上，厂商的供应水平与最优水平一致。 6．政府决定干涉一个独占市场。假设这个市场上唯一的一个厂商的成本函数可能是?1x或者?2x，?1??2；独占厂商清楚自己的确切成本，但政府不知道，它猜测厂商成本是?1x的概率是??0???1?；社会从该厂商的消费中获得的总效用是U?x?，从而市场需求（反）函数是p?U??x?。假设政府可以强制市场价格定在某一特定水平，从而控制厂商的产量；同时，作为对厂商的补偿，政府向厂商发放补贴T?0。在这种政策下，厂商的利润是
U??x?x??ix?T
如果这个利润小于零，厂商将停产。政府的目标是使下列函数最大化：
U?x???ix?T
推导政府的最优干涉政策。
解：政府可考虑一个两可的干预补贴方案：?p1,T1?或?p2,T2?，根据市场需求条件，这等价于??U??xi?,Ti??。政府需要确定恰当的xi和Ti。
在上述政策下，企业的参与约束及自选择约束分别为：
类型 1
参与约束
p1x1??1x1?T1?0
自选择约束
p1x1??1x1?T1?0?p2x2??1x2?T2（束
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紧）
p2x2??2x2?T2?0（束p2x2??2x2?T2?0?p1x1??2x1?T1
紧）
因此，政府面临的问题是：
max???U?x1???1x1?T1????1?????U?x2???2x2?T2??
st..U??x1?x1?U??x2?x2??1x1??2x2?T2?0
U??x2?x2??2x2?T2?0
一阶必要条件是：
?L????U??x1???1????1??U??x1??U???x1?x1??1???0 ?x1?L??1?????U??x2???2????1???U??x2??U???x2?x2??2????2??U??x2??U???x2?x2??2???0 ?x2?L?????1?0 ?T1?L???1?????1??2?0 ?T2解得?1???，?2?1，从而有：
??? U??x1U???x1x1???1?1?2?U??x2???1??21???? ?U???x2x2?2????????? T1?????1?U?x1??x1???2??1?x2???1?p1?x1???2??1?x2?????? T2?????2?U?x2??x2???2?p2?x2上述政策的经济含义：信息对称情况下的帕累托最优干预产量为?x1p,x2p?，满足条件
?如果消费者效用函数是凹函数（边际效用递减），U??????0，则p1U??xip???i。?U??x1????1，?所以x1??x1p，这说明高效率厂商的产量应低于帕累托最优水平；同时，由于U??x2?与?2的
大小比较依赖于需求条件（偏好及高低需求的概率），低效率厂商的产出可能会低于或高于帕累托最优水平。至于补贴政策，??i?pi?xi意味着依据价格低于边际成本的幅度进行补偿的基本原则，但因为这里高效率厂商的定价水平较其成本高，所以这一部分实际上成了税收；不过，高效率厂商可以得到补偿??2??1?x2，这是对他积极生产（不假装低效率）的激励。而且，在线性需求情况下，U??????0，政府应对高效率厂商补贴??2??1?x2，使其在帕累托有效水平生产；同时，鼓励低效率厂商在高于帕累托有效的水平上生产985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解