复变函数期末考试复习题及答案详解

内容发布更新时间 : 2025/7/4 6:35:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2. 当z?___时,ez为实数. 3. 设ez??1,则z?___.

4.

ez的周期为___.

5. 设

C:|z|?1,则?C(z?1)dz?___.

6. Res(ez?1z,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心,r为半径的圆周,则

?1C(z?a)ndz?___.

(n为自然数) 三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数z?1的实部与虚部.

2. 计算积分:

I??LRezdz,

在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.

求积分:I??d?01?2acos??a2,其中0

4.

应用儒歇定理求方程z??(z),在|z|<1内根的个数,在这里

?(z)在|z|?1上解析,并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外,处处不可微.

2. 设

f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R

及M,使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n,

5

证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题(六)

1.

一、填空题(20分) 1. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n),则limzn?___________. 2. 设

f(z)?1z2?1,则

f(z)的定义

____________________________.

3. 函数sinz的周期为_______________________. 4.

sin2z?cos2z?_______________________.

??5. 幂级数

?nzn的收敛半径为________________.

n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1,则z0是f?(z)的____________零点.

7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析,则称它是______________.

8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题(30分)

n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?,其中C??z:z?3?,试求f?(1?i). 3、设f(z)?ezz2?1,求Res(f(z),i).

、求函数sinz34z6在0?z??内的罗朗展式.

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值.

三、证明题(20分)

1、 方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析,v(x,y)等于常数,

则f(z)在D恒等于常数.

6

3、 若z的m阶零点,则z10是f(z)0是f(z)的m阶极点.

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