复变函数期末考试复习题及答案详解

内容发布更新时间 : 2024/12/23 7:58:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。

6、利用留数定理计算积分:?2?dx0a?cosx,(a?1). 四、证明题(6+7+7=20分)

1、方程24z7?9z6?6z3?z3?1?0在单位圆内的根的个数为7。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析, |f(z)|等于常数,则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题(10分)

求一个单叶函数,去将z平面上的上半单位圆盘{z:|z|?1,Imz?0}保形映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。

《复变函数》考试试题(七)

一、 判断题(2x10=20分)

1、若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析。( )

2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析。( )

3、如果z0是f(z)的极点,则limz?zf(z)一定存在且等于无穷大。( )

04、若f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。( )

5、若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。( )

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6、若f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。( )

7、若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某一条曲线上恒为常

数,则f(z)在区域D内恒等于常数。( )

8、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/ f(z)的m阶极点。( ) 9、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则

|f(z)|?1(|z|?1)。( )

10、limezz????。( )

二、填空题(2x10=20分)

1、若znn?sin1?n?i(1?2n)n,则zlim???zn?__________。 2、设f(z)?1sinz,则f(z)的定义域为__________。

3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2z?cos2z?________。

??

5、幂级数?nzn的收敛半径为_____________。

n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1,则z0是f'(z)的______零点。

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是_______。

8、函数 f(z)?z的不解析点之集为__________。

9、方程20z8?11z3?3z?5?0在单位圆内的零点个数为_________。

、Res(ez10z2?1,1)?_____________。

三、计算题(5x6=30分)

n1、lim?n???2?i??6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?,其中C?{z:|z|?3},试求f'(1?i). f(z)?ez3、设z2?1,求Res(f(z),?i).

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 26

6、利用留数定理计算积分???x2?x?2??x4?10x2?9dx。

四、证明题(6+7+7=20分)

1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析, u(x,y)等于常数,则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题(10分)

求一个单叶函数,去将z平面上的带形区域{z:?2?Imz??}保形

映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。

《复变函数》考试试题(八)

二、 判断题(4x10=40分):

1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导。( ) 2、如果z0是f(z)的本性奇点,则limz?zf(z)一定不存在。( )

03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )

4、cos z与sin z在复平面内有界。( )

5、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点。( ) 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析。( ) 7、若limz?zf(z)存在且有限,则z0是函数的可去奇点。( )

08、若f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。( )

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数。( )

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10、若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,

则在区域D内恒等于常数。( ) 二、填空题(4x5=20分)

1、函数ez的周期为__________。 ??2、幂级数?nzn的和函数为__________。

n?03、设f(z)?1z2?1,则f(z)的定义域为___________。???4、nzn的收敛半径为_________。

n?0Res(ez5、zn,0)?_____________。

三、计算题(8x5=40分): 1、?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz.

2、求Res(eiz1?z2,?i).

?1?i?n?1?in?3、

?2??????2??。 4 设u(x,y)?ln(x2?y2)。求v(x,y),使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数,且满足f(1?i)?ln2。其中z?D(D为复平面内的区域)。

5、求z4?5z?1?0,在|z|<1内根的个数

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