2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二上学期期中联考数学试题(解析版)

内容发布更新时间 : 2024/11/15 15:52:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

由中点坐标公式可得AB中点M?3,?1? 则直线OM的斜率为故选:B 【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系,中点弦问题的解法,属于基础题.

?11?? 33x2y28.已知F1、F2是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点,过F1的直线l与双

ab 曲线的左、右两支分别交于点A、若AB?AF2?4a,则双曲线的离心率为( )B,A.3 【答案】D

【解析】根据双曲线定义及已知条件AB?AF2?4a,用a表示出AF1,BF2,可得

B.4

C.

23 3D.7

?ABF2为等边三角形,得?F1BF2?即可求得双曲线的离心率. 【详解】

?3,在?F1BF2中由余弦定理可得a与c的关系式,

x2y2因为双曲线2?2?1?a?0,b?0?,直线l过F1且与双曲线的左、右两支分别交于点

abA、B,如下图所示:

由双曲线定义可知,BF1?BF2?2a,AF2?AF1?2a 而AB?AF2?4a,F1F2?2c 所以AF1?AF2?2a?4a?2a?2a

则BF1?BA?AF1?4a?2a?6a,BF2?BF1?2a?6a?2a?4a 所以

AB?AF2?BF2?4a,即?ABF2为等边三角形.

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在?F1BF2中,由余弦定理可得F1F22?BF1?BF2?2BF1?BF2cos22?3

?222代入可得4c?36a?16a?2?6a?4acos

3化简可得c2?7a2

c7a2即双曲线离心率为??7

2aa故选:D 【点睛】

本题考查了双曲线的定义及简单性质的应用,余弦定理解三角形的用法,双曲线离心率的求法,属于中档题.

9.已知圆锥的母线长为2r,底面圆半径长为r,圆心为O,点M是母线PA的中点,

AB是底面圆的直径.若点C是底面圆周上一点,且OC与母线PB所成的角等于60?,

则MC与底面所成的角的正弦值为( )

A.

1 213 或22B.

23 或222 2C.D.

【答案】C

【解析】连接MO,过M作MD?AO.连接MC,DC,即?MOC即为OC与母线PB所成的角或补角,再由余弦定理即可求得MC,在Rt?ODC中即可求得MC与底面所成的角的正弦值. 【详解】

连接MO,过M作MD?AO.连接MC,DC如下图所示:

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根据中位线定理可得MO∥PB,MD?平面AOC

?MCD即为MC与底面所成的角或补角

因为圆锥的母线长为2r,底面圆半径长为r 则PO?PB2?OB2?4r2?r2?3r PO3r ?22所以MD?因为MO∥PB

则?MOC即为OC与母线PB所成的角或补角,即?MOC?60o或?MOC?120o 因为OC?r,OM?1PB?r,在?OMC中由余弦定理可得 2MC?OM2?OC2?2?OM?CO?cos?MOC

当?MOC?60o时,代入可得MC?r2?r2?2?r?r?cos60o?r 当?MOC?120o时,代入可得MC?r2?r2?2?r?r?cos120o?3r

33rrMD1 则或MD3sin?MCD??2?sin?MCD??2?MC3r2MCr213 所以MC与底面所成的角的正弦值为或

22故选:C 【点睛】

本题考查了圆锥中直线与平面夹角的求法,空间中线线、线面、面面的位置关系,余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.

10.已知抛物线x?2py?p?0?的准线方程为y??1,?ABC的顶点A在抛物线上,

2B、C两点在直线y?2x?5上,若BC?45,则?ABC面积的最小值为( )

A.10

B.8

C.1

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D.2

【答案】D

【解析】根据抛物线的准线方程可求得抛物线的方程,设出A点坐标,利用点到直线距离公式表示出A到直线y?2x?5的距离,求出距离的最小值即可得?ABC面积的最小值. 【详解】

因为抛物线x?2py?p?0?的准线方程为y??1

2所以?p??1,解得p?2 22即抛物线方程为x?4y

?t2因为A在抛物线上,设A?t,?4??,直线y?2x?5化为2x?y?5?0 ?t22t??5412t?4?4?? 则点A到直线2x?y?5?0的距离

d??42522???1?所以当t?4时, dmin?15 ?55则由BC?45可得?ABC面积的最小值为

115S??dmin?BC???45?2

225故选:D 【点睛】

本题考查了抛物线标准方程及其性质的简单应用,点到直线距离公式的用法,属于基础题.

11.已知非零实数a、b和1依次成等差数列,直线ax?by?1?0与椭圆

x2y2C:??1恒有公共点,则实数m的取值范围为( )

m163且m?16 44C.m?且m?16

3A.m?【答案】D

3且m?16 44D.m?且m?16

3B.m?【解析】根据三个数成等差数列,可得a、b的等量关系,代入直线方程即可求得直线过

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的定点坐标,由直线与椭圆恒有公共点可知定点在椭圆内,即可求得m的取值范围. 【详解】

因为非零实数a、b和1依次成等差数列 则a?1?2b,即a?2b?1

直线方程ax?by?1?0可化为?2b?1?x?by?1?0 因而?2x?y?b?1?x?0 所以直线经过定点?1,?2?

x2y2因为直线与椭圆C:??1恒有公共点

m16所以只需定点在椭圆内或在椭圆上即可 即

14??1且m?16 m164且m?16 3解得m?故选:D

【点睛】

本题考查了直线与椭圆位置关系,直线过定点的求法,属于基础题.

12.我们把Fn?22?1?n?0,1,2L?叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设

nan?log2?Fn?1?,n?1,2,L,Sn表示数列?an?的前n项之和,则使不等式2222n2n??K??成立的最小正整数n的值是( ) S1S2S2S3SnSn?12400A.10 【答案】A

【解析】根据定义代入化简得数列?an?的通项公式,由通项公式可知数列?an?为等比数

B.9

C.8

D.11

2n列.根据等比数列的求和公式先求得Sn,再代入通项式中求得通项,结合裂项求和

SnSn?1法即可求得不等式左边的和.最后代入n的值检验即可判断能成立的最小正整数值. 【详解】

因为Fn?22?1?n?0,1,2L?,且an?log2?Fn?1?

n代入可得an?log2?Fn?1?

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