内容发布更新时间 : 2024/11/15 16:01:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
?log222?1?1
2nn2???log?2??2
n则数列?an?为等比数列,首项为a1?2,q?2 根据等比数列的求和公式可得Sn?21?2n???22?1
??1?2n2n2n? 所以
SnSn?12?2n?1??2?2n?1?1?1?11???n?n?1? 4?2?12?1?2222n??K? 所以不等式左边
S1S2S2S3SnSn?11?1111111???1?????????n?n?1? 4?3377152?12?1?1?1???1?n?1? 4?2?1?1?1?2n 则不等式为?1?n?1??4?2?1?24001?1?29?129?129?,不等式右边为,则不等当n?9时不等式左边为?1?9?1??114?2?1?2?22046240029?129式不成立 ?204624001?1?210?1210?1210?,不等式右边为,则不当n?10时不等式左边为?1?10?1??124?2?1?2?240942400210?1210等式成立 ?409424002222n2n??K??综上可知使不等式成立的最小正整数n的值是10 S1S2S2S3SnSn?12400故选:A 【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的求法,等比数列前n项和公式的应用,裂项求和法的综合应用,不等式比较大小,综合性较强,属于中档题.
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二、填空题
x2y213．已知曲线C:???1，则“4?k?5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭
k?51?k圆”的______条件.（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”或者“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】由4?k?5代入检验曲线方程,或根据椭圆的标准方程解不等式求出k的取值范围,结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】
x2y2曲线方程可化简为C:??1
5?kk?1当4?k?5时,可得0?5?k?1,3?k?1?4,即5?k?k?1,所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆
?k?1?5?k?xyy,若曲线C:表示焦点在轴上的椭圆则满足??1?5?k?0 ,解得
5?kk?1?k?1?0?223?k?5
综上可知“4?k?5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件 故答案为: 充分不必要 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其简单性质,充分必要条件的判定,属于基础题.
rrrr14．若a??2x,1,3?，b??1,2y,?9?且a//b，则xy?_________.
【答案】
1 4【解析】根据空间向量共线的条件,解方程组即可求得xy的值. 【详解】
rrrr因为a??2x,1,3?,b??1,2y,?9?且a//b
则存在实数?,满足a=λb
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1?x???6?2x???1?3??所以?2x,1,3????1,2y,?9?,即?1???2y,解方程组可得?y??
2?3?????9???1?????3??1??3?1xy?所以????????
?6??2?4故答案为: 【点睛】
本题考查了空间向量共线的坐标简单应用,属于基础题.
15．过点A?3,?1?且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是_______. 【答案】x?3y?0或x?y?2?0
【解析】当直线过原点时,在x轴和y轴上的截距都为0,也相等;当直线在x轴和y轴上的截距不为0时,可设截距式,代入坐标即可求解. 【详解】
当直线经过原点时, 在x轴和y轴上的截距都为0,也相等,此时直线的斜率k??,则直线方程为y??1 4131x,即x?3y?0 3xy??1,代入A?3,?1?可得aa当直线在x轴和y轴上的截距不为0时,设直线方程为
3?1xy??1,解得a?2,则直线方程为??1,即x?y?2?0
22aa综上可知,直线方程为x?3y?0或x?y?2?0 故答案为: x?3y?0或x?y?2?0 【点睛】
本题考查了直线的截距式方程的应用,注意讨论截距等于0的情况,属于基础题.
m的16．平面内与两定点A1?0,?a?，A2?0,a??a?0?连线的斜率之积等于非零常数
点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当m??1时，曲线C是一个圆；②当m??2时，曲线C的离心率为3；③2当m?2时，曲线C的渐近线方程为y??2x；④当曲线C的焦点坐标分别为
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?1??1?0,?a1?0,a1?和?时，m的范围是???,?1?.其中正确的结论序号为???????m??m??_______. 【答案】①③
【解析】设出动点P的坐标,根据斜率之积为m可求得动点的轨迹方程.依次代入m的值可判断①②③;讨论当m分别取???,?1?和?0,???时焦点坐标,求得都为
?1??1???0,?a1?m??和??0,a1?m??,因而可判断④. ????【详解】 设动点P?x,y?
?k?m 当x?0时,kPA1PA2即
y?ay?a??m,化简可得y2?mx2?a2?x?0? xx222又因为A1?0,?a?,A2?0,a??a?0?满足y?mx?a
所以动点P的轨迹方程为y2?mx2?a2
当m??1时,曲线C的方程为y2?x2?a2,为圆心在原点,半径为a的圆,所以①正确;
y2当m??2时,曲线C的方程为y2?2x2?a2,可化为a2?x2a22?1,为焦点在y轴上的
22aa2椭圆,所以c?a2??a,则离心率为c?2?2,所以②错误;
22aa2y2当m?2时,曲线C的方程为y2?2x2?a2,可化为a2?x2a22?1,为焦点在y轴上的双
曲线,所以渐近线方程为
y??ax??2x,所以③正确; 2a2当m????,?1?时,曲线C的方程可化为a2y2?x2a?m2?1,表示焦点在y轴上的椭圆,则
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?a2??1??1?10,?a1?0,a1?,. 则焦点坐标为?和?c?a????a1?????????m?m??m?m???2当m??0,???时,曲线C的方程可化为a2y2?x2am2?1,表示焦点在y轴上的双曲线,则
1??1?a21,则焦点坐标为?0,?a1?0,a1?.由以上可知,和????c?a??a1?????m??m?mm?2?1??1?m当焦点坐标为??0,?a1?m??和??0,a1?m??时,的取值范围为???,?1?U?0,???,
????所以④错误.
综上可知,正确的序号有①③ 故答案为: ①③ 【点睛】
本题考查了曲线方程的综合性质与应用,椭圆与双曲线的焦点与离心率性质的应用,分类讨论思想的应用,计算量较大,属于难题.
三、解答题
17．如图，四棱锥P?ABCD中，PA?CD，?PAD??ABC?90?，AB//CD，
DC?CB?1AB?2，PA?2. 2
（1）求证：PA?平面ABCD；
（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 3【解析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理即可证明.
（2）因为AB//CD,则?PCD即为异面直线AB与PD所成角,在?PDC中求得各边的长度,由余弦定理即可求得?PDC,根据异面直线夹角的范围即可判断夹角的余弦值. 【详解】
（1）证明：∵PA?CD,PA?AD,CDIAD?D,
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