(新课标)2021版高考数学一轮总复习第五章平面向量、复数第28讲平面向量的数量积导学案新人教A版

内容发布更新时间 : 2024/12/25 17:22:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第28讲 平面向量的数量积

【课程要求】

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题.

对应学生用书p78

【基础检测】

概念辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )

(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a·b=0可得a=0或b=0.( ) (4)(a·b)c=a(b·c).( )

?π?(5)两个向量的夹角的范围是?0,?.( )

2??

(6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×

教材改编

2.[必修4p105例4]已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________. [解析]∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k), 由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0, ∴10+2-k=0,解得k=12. [答案]12

3.[必修4p106T3]已知|a|=5,|b|=4,a·b=-10,则向量b在向量a方向上的投影为________.

1

[解析]由数量积的定义知,b在a方向上的投影为

a·b|b|cosθ==-2.

|a|[答案]-2

易错提醒

→→

4.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为( )

A.

3231532315

B.C.-D.- 2222

→→→→→→→[解析]由题意知AB=(2,1),CD=(5,5),则AB在CD方向上的投影为|AB|·cos〈AB,CD〉→→

AB·CD32==.

→2|CD|

[答案]A

→→→

5.已知△ABC的三边长均为1,且AB=c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c+a·c=________. [解析]∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1, 1∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=-,

23

∴a·b+b·c+a·c=-. 23

[答案]-

2

6.设向量a=(-1,2),b=(m,4),如果向量a与b的夹角为锐角,则m的取值范围是________.

[解析]a·b=-m+2×4=8-m>0,且a≠λb(λ>0), 解得m<8且m≠-2.

[答案] (-∞,-2)∪(-2,8) 【知识要点】 1.两向量的夹角

→→

已知非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做a与b的夹角.

a与b的夹角的取值范围是__[0,π]__.

2

当a与b同向时,它们的夹角为__0__;当a与b反向时,它们的夹角为__π__;当夹角为90°时,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

2.向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b,我们把__|a||b|cos__θ__叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

规定:零向量与任何向量的数量积为0,即0·a=0. 3.向量数量积的几何意义

向量的投影:|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,当θ为锐角时,它是正值;当θ为钝角时,__它是负值__;当θ为直角时,它是零.

a·b的几何意义:数量积a·b等于__a的长度|a|__与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.

4.平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.

结论 模 数量积 夹角 几何表示 |a|=a·a 坐标表示 |a|=__x1+y1__ 22a·b=|a|·|b|cosθ cosθ= |a|·|b| a·b=x1x2+y1y2 cosθ=a·bx1x2+y1y2 22x2x21+y1·2+y2 a⊥b的 充要条件 |a·b|与 |a||b|的 关系 a·b=0 |a·b|≤|a|·|b|(当且仅当ax1x2+y1y2=0 |x1x2+y1y2|≤ ∥b时等号成立) 22x2x21+y1·2+y2 5.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a.

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c.

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