内容发布更新时间 : 2024/11/5 5:13:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【分析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可； （2）过点作EM⊥OC于M，易知【解答】（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点， ∴AC=AD，∵OC=OD， ∴OA⊥CD， ∴CD⊥OA， ∵CF是直径， ∴∠CDF=90°， ∴DF⊥CD， ∴DF∥AO．
=，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；
（2）过点作EM⊥OC于M， ∵AC=6，AB=10， ∴BC=∴AD=AC=6， ∴BD=AB﹣AD=4， ∵BD2=BF?BC， ∴BF=2，
∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3， ∴OA=
∵OC2=OE?OA，
=3
， =8，
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∴OE=，
∵EM∥AC， ∴
=
=
=，
，
∴OM=，EM=，FM=OF+OM=∴
=
=
=，
∴CG=EM=2．
【点评】本题考查切线的性质、直径的性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25．（12分）（2017?泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．
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【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值． 【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称， ∴四边形ABDC为等腰梯形， ∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件， ∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时， ∵∠DBA=∠CAO， ∴BD∥AC， ∵C（0，2），
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∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2， ∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8， ∴直线BD解析式为y=2x﹣8， 联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，
设P（t，﹣t2+t+2），
由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2， ∴H（t，﹣t+2），
∴PH=yP﹣yH=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t， 设直线AP的解析式为y=px+q，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t， ∴F（0，2﹣t）， ∴CF=2﹣（2﹣t）=t，
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联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横
坐标为，
），S2=??
，
，
∴S1=PH（xB﹣xE）=（﹣t2+2t）（4﹣∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣
）﹣??
=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+．
∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
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