内容发布更新时间 : 2024/5/2 12:50:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
lnS?(r??22)(T?t)
用风险中性估价在t时刻证券的价值是 e?r(T?t)[lnS?(r??22)(T?t)]
（c）
如果f?e?r(T?t)[lnS?(r??22)(T?t)]
则
?f?t?re?r(T?t)[lnS?(r??22)(T?t)]?e?r(T?t)(r??22)
?f?S?f?S2?e?r(T?t)Se
2?r(T?t)?S2
BS方程左边是[rlnS?r(r?因此满足BS方程。
?22)(T?t)?(r??22)?r??22]?rf
11.15一个在T时刻支付STn 的衍生工具，ST是T时刻此种股票的价格。当这种股票的价格服从几何布朗运动时，在t时刻（t≤T）此种股票的价格有如下形式： h（t，T）Sn
其中S是t时刻的股票的价格，h仅只是t和T的函数。
（a） 通过代入Black-Scholes偏微分方程，推导一个h（t，T）满足的普通微分方程。 （b） h（t，T）的微分方程的边界条件是什么？ （c） 证明
（a）如果G(S,t)?h(t,T)S则
122n?G?t?htS,n?G?S?hnSn?1,?G?S22?hn(n?1)Sn?2,ht??G?t
带入BS方程得ht?rhn??hn(n?1)?rh
n（b）衍生品在t=T时刻价值为S，所以微分方程的边界条件是h(T,T)?1
11.16求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。其中股票价格为＄52，执行价格为＄50，无风险年收益率为12%，年波动率为30%，到期日为3个月。
在本题中S0?52,X?50,r?0.12,??0.30,T?0.25
46
d1?ln(5250)?(0.12?0.3/2)0.250.300.252?0.5365
d2?d1?0.300.25?0.3865欧式看涨期权的价格是
52N(0.5365)?50e?0.03?0.6504?5.06
11.17 求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格。其中股票价格为＄69，执行价格为＄70，无风险年收益率为5%，年波动率为35%，到期日为6个月。 在本题中S0?69,X?70,r?0.05,??0.35,T?0.5
d1?ln(69/70)?(0.05?0.35/2)?0.50.350.52
?0.1666
d2?d1?0.350.5??0.0809欧式看跌期权价格为
70e?0.05?0.5N(0.0809)?69N(?0.1666)?70e?0.025?0.5323?69?0.4338?6.40
11.18 有一个无红利支付股票的期权，股票价格为＄30，执行价格为＄29，无风险年利率为5%，年波动率为25%，到期日为4个月。
（a） 如果这是一个欧式看涨期权，计算其价格。 （b） 如果这是一个美式看涨期权，计算其价格。
（c） 如果这是一个欧式看跌期权，计算其价格。 （d） 检验看涨-看跌期权的平价关系。 （a）
11.19 假设习题11.18中的股票，打算在1.5个月后除权除息一次，期望红利为50美分。 (a)
若是欧式看涨期权，计算其价格。
(b) 若是欧式看跌期权，计算其价格。 (c) 若是美式看涨期权，有没有可能提前执行呢？
11.20 一个基于无红利支付股票的看涨期权，市场价格为＄2.5，股票价格为＄15，执行价格为＄13，到期时间为3个月，无风险年利率为5%，计算隐含波动率。 11.21 用本章所用的符号： （a） （b） （c）
计算N(x)？ 证明SN'(d1)?xe计算
?d1?S[?r(T?t)]N'(d2)'
和
?d2?S
（d） 格。 （e）
证明
?c?t??rXe?r(T?t)N(d2)?SN'(d1)?2T?t其中c是基于无红利支付股票的看涨期权价
证明
?c?S?N(d1)
47
（f） 分方程。
证明Black-Scholes对无红利支付股票的看涨期权定价的公式，确实满足Black-Schole偏微
11.22 证明：当t?T,Black-Scholes看涨期权公式的值趋向于max(S?X,0)。
11.23 有一个美式期权，标的股票价格为＄18，执行价格为＄20，有效期为6个月，波动率为每年30%，无风险年利率为10%。在期权有效期内，两次除权除息日分别在2个月和5个月的月末，两次期望红利值相等。为了使美式期权价值不高于相应的欧式期权价值，红利最多为多少？
11.24 假设习题11.23中每次红利为每股40美分，用Black近似值为该期权定价
11.25 一旦支付一次红利，对支付红利股票的美式看涨期权的Black估价方法就可以给出一个计算结果，请详细解释。Black近似方法是高估了还是低估了真正的期权的价值？请解释原因。
11.26 有一个美式看涨期权，其标的股票的当前股价是＄70。有效期为8个月，无风险年利率为10%，执行价格为＄65，波动率为32%。在3个月和6个月后，期望得到＄1的红利，证明在任何两个红利支付日，执行期权不是最佳选择，计算该期权的价格。
11.27 利用本章所用的符号。证明：在风险中性世界中，一个欧式看涨期权被执行的概率是N(d2)。若T时刻的股价大于X，收益为＄100的衍生工具的价格的表达式是什么？
第十二章
12.1 一个证券组合当前价值为＄1000万，?值为1.0，S&P100目前位于250，解释一个执行价格为240。标的物为S&P100的看跌期权如何为该组合进行保险？
当S&P100跌到480，这个组合的期望价值是10 ×（480/500）=＄9.6million.买看跌期权10，000，000/500=20，000可以防止这个组合下跌到＄9.6million下的损失。因此总共需要200份合约
12.2 “一旦我们知道了支付连续红利股票的期权的定价方法，我们便知道了股票指数期权、货币期权和期货期权的定价”。请解释这句话。
一个股票指数类似一个连续支付红利的股票
12.3 请说明日圆看涨期权与日圆期货看涨期权的不同之处
一个日元的看涨期权给了持有者在未来某个时刻以确定的价格购买日圆的权利，一个日圆远期看涨期权给予持有者在未来时刻远期价格超过特定范围按原先价格购买日圆的权利。如果远期齐权行使，持有者将获得一个日圆远期和约的多头。
12.4请说明货币期权是如何进行套期保值的？
12.5 计算3个月期，处于平价状态的欧式看涨股票指数期权的价值。指数为250。无风险年利率为10%，指数年波动率为18%，指数的年红利收益率为3%。
一个日元的看涨期权给了持有者在未来某个时刻以确定的价格购买日圆的权利，一个日圆远期看涨期权给予持有者在未来时刻远期价格超过特定范围按原先价格购买日圆的权利。如果远期齐权行使，持有者将获得一个日圆远期和约的多头。
12.6 有一美式看涨期货期权，期货合约和期权合约同时到期。在任何情况下期货期权比相应的标的物资产的美式期权更值钱？
当远期价格大于即期价格时，美式远期期权在远期和约到期前的价值大于相对应的美式期权/
12.7 计算5个月有效期的欧式看跌期货期权的价值。期货价格为＄19，执行价格为＄20，无风险年利率为
48
12%。期货价格的年波动率为20%。
本题中12.8 假设交易所构造了一个股票指数。该指数反映了某个证券组合的收益率（包括红利），你如何为（a）期货合约、（ b）该指数的欧式期权进行定价。
12.9 目前S&P指数为328点。其年波动率为30%，无风险年收益率为7%。指数的红利率为4%。计算执行价格为350的3个月期欧式看跌期权的价格。
12.10 假设加拿大元的即期价格为＄0.75，加拿大元/美元的汇率的年波动率为4%，加拿大元和美元的无风险年收益率分别为9%和7%。计算执行价格为0.75、9个月后到期的欧式看涨期权的价格。 12.11 从如下有关的欧式大豆期货的看跌期货期权的信息中，计算大豆期货价格的隐含波动率 期货现价：525 执行价格：525 无风险年利率：6% 到期时间：5个月 看跌期权价格：20
12.12 证明欧式股票指数期权的看跌—看涨的平价关系： c?Xe?r(T?t)?p?Se?q(T?t)
其中q为指数的红利率，c为欧式看涨期权的价格，p为欧式看跌期权的价格，2个期权的执行价格均为X，到期时间均为T，
12.13 欧式货币期权的看跌-看涨平价关系是什么？
12.14 若C为有关执行价格X，到期时间为T，股票红利率为q的美式看涨期权的价格，P是同一股票，相同执行价格和执行日的看跌期权的价格，证明：
Se?q(T?t)?X?C?P?S?Xe?r(T?t)
其中，S是股票价格，r是无风险利率，r?0。
12.15 若C是一个执行价格为X，到期时间为T的美式看涨期货期权的价格，P是同一期权合约、相同执行价格和到期日的美式看跌期货期权的价格，证明： Fe?r(T?t)?X?C?P?F?Xe?r(T?t)
其中F是期货价格，r是无风险利率。假设r?0并且期货合约与远期合约没有区别
12.16 以货币B表示的货币A的价格遵循第12.4节中所假定的过程。问：以货币A表示的货币B的价格遵循什么过程？
12.17 一股票指数的波动率是大于还是小于一个典型股票的波动率？请说明原因
股票指数的波动率被认为是小于典型股票的波动率，这是因为当建立一个股票组合时一些风险被分散了。在资产定价模型中单个股票回报存在系统风险和非系统风险。但是，在股票指数中，非系统风险已经被极大分散了，造成波动的只有系统风险。
。
12.18 一个共同基金宣布：其证券部经理的工资取决于公司基金的业绩。若该证券亏钱了，则工资为0，若该证券盈利了，则工资是盈利额的一个比例，试把证券部经理的工资描述成一个衍生工具，如何运用这种报酬方式激励证券部经理？
12.19 随着组合beta值的增加，请解释组合保险的成本是增加还是减少？
12.20 解释一个组合价值为＄6000万，S&P500为300，若组合的价值反映了指数的价值，为防止该组合的价值在一年内降到＄54m以下，应买何种期权？
如果资产组合的价值反映了指数的价值，当组合价值下降10%的时候指数也应下降10%，因此当资产组
49
合价值下降到54m指数价值也将下降到1080。着表示1080价格的看跌期权应该购买，期权应该是50000 倍指数，每个期权合约是100指数，因此需要购买500份合约。
12.21再次考虑习题12.20中的情况。假设组合的beta值为2.0，无风险年收益率为5%。该组合和指数的红利率都是每年3%。为防止组合价格降到＄5400万以下，应买何种期权？ 12.22 假设（A）一个执行价格为300，标的物为S&P500的封顶看涨期权CAP。（B）一个牛式价差期权，该期权由执行价格分别为300和330的，到期日与上面CAP相同，基于S&P500的欧式看涨期权来构造。两者的区别是什么？哪一个更值钱？
12.23 在第12.5节中，提到期货的价格相当于一个支付连续红利率为r的证券。考虑一个基于期货价格的远期合约并利用第3章中的结果，证明：当利率为常数时，远期价格等于期货价格。
12.24 请说明是否能够通过基于美元兑马克汇率和基于美元兑日元汇率的两个期权来构造一个马克兑日元的汇率期权。
50