江苏省泰州市2015-2016学年上学期高一期末数学试卷(解析版)

内容发布更新时间 : 2024/12/25 10:26:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【考点】函数恒成立问题;函数的值.

【专题】新定义;转化思想;函数的性质及应用.

【分析】(1)①当k=2时,f(x)=2x+1,结合二阶不动点和二阶周期点的定义,可得答案;

②由二阶周期点的定义,结合f(x)=kx+1,可求出满足条件的k值;

(2)若对任意实数b,函数g(x)=x2+bx+c都存在二阶周期点,则函数g(x)=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根,解得答案. 【解答】解:(1)①当k=2时,f(x)=2x+1, f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3, 解4x+3=x得:x=﹣1,

即﹣1为函数f(x)的二阶不动点, 时f(﹣1)=﹣1,

即﹣1不是函数f(x)的二阶周期点; ②∵f(x)=kx+1, ∴f(f(x))=k2x+k+1, 令f(f(x))=x, 则x=

=

,(k≠±1),或x=0,k=﹣1,

令f(x)=x,则x=,

若函数f(x)存在二阶周期点,则k=﹣1, (2)若x0为函数f(x)的二阶周期点. 则f(f(x0))=x0,且f(x0)≠x0, 若x1为函数f(x)的二阶不动点, 则f(f(x1))=x1,且f(x1)=x1, 则f(x0)=f(x1),

则x0≠x1,且f(x0)+f(x1)=﹣b,

即函数g(x)=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根, 故△=(b﹣1)2﹣4c>0恒成立, 解得:c<0.

【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体,考查了二次函数的基本性质,正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键.

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