内容发布更新时间 : 2024/11/20 14:44:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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【解答】解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=得
，又2a+2c=
，
，
所以可解得
，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，
；
所以椭圆的标准方程为
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为（Ⅱ）设点P（x0，y0）， 则k1=
，k2=， ． ∴k1?k2==， 又点P（x0，y0）在双曲线上， ∴
，即y02=x02﹣4， ∴k1?k2==1． （Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立， 则由（II）知k1?k2=1， ∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2）， 由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由韦达定理得，
，
∴AB==，
同理可得CD===，
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∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|， ∴λ=
∴存在常数λ=
=
﹣
=
=
，
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立．
【点评】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 22．（14分）（2010?山东）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（Ⅰ）当a≤时，讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性； （Ⅱ）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最小值，然后解不等式求参数． 【解答】解：（Ⅰ） 令h（x）=ax2﹣x+1﹣a（x＞0） （1）当a=0时，h（x）=﹣x+1（x＞0）， 当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． （2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax2﹣x+1﹣a=0，解得当当
． ，﹣1（a∈R）．
时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减； 时，，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当a＜0时，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增； 当
时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
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当减． （Ⅱ）当有
时，函数f（x）在（0，1）单调递减，单调递增，单调递
时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2），
，
，x2∈[1，2]，（※）
又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以
又g（x）=（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4﹣b2≥0也与（※）矛盾； 当b＞2时，综上，实数b的取值范围是． ． 【点评】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．