内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:38:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.构造法概述
1.1 一个简单例子
证明存在两个无理数x,y,使z?xy是有理数[1]
传统证明方法是,假设对于任何两个无理数x,y,都有z?xy是无理数。那么就有
?2?22一定是无理数,进而?2????2???2也是无理数,而
?2????2????(2)2?2是有理数,所以假设不成立
而我们如果令x?2,y?log29,我们已知2和log29都是无理数,此时
xy?(2)log29?2log23?3是有理数,问题得证。
上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。
1.2构造法的发展历史
到底什么是构造法呢?构造法就是按照固定方式,经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔(H.Weyl)在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时,有一件最为门外汉所不能理解的事情,那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在,因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。除此之外,数学最初的定义有很多都是构造性的定义,比如:将线段绕其一个端点在平面内旋转一周,它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初,但它的发展是在19世纪末。
19世纪末,克罗内克和庞加莱基于数学的可信性,提出了“存在必须是被构造的”观点,创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致,反对一切非构造性数学内容,搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学,把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础,大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书,摆脱了算法数学对递归函数的依赖,宣告现代构造数学的形成。
时至今日,构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域,而且在数值分析,拓扑学领域也大有用武之地。[3]
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1.3 中学数学需要数学构造法
除了高等数学,现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。《高中数学教学大纲》中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容,数学语言,更重要是数学思想、方法。
在高中数学解题过程里,我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题,这时我们可以另辟蹊径,利用这种特殊的数学方法尝试解决问题——构造法。
2.中学解题中常用的几类构造法
运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻,这时我们根据题设特点,用已知元素和关系式构造一个新的数学形式,如:函数、方程、图形等,这样可以绕过阻碍,得到解题的思路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多,包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究,熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧,以及构造法解题的本质,对问题的化归。
2.1构造图形
代数是数字和文字的组合,但是这并不代表代数和图形完全没有关系,对于一些代数的问题,我们如果能通过途径构造相应的图形,此时解题过程便十分直观、清晰。
例1.1 已知a?0,b?0,a?b?1,求证:2?a?11[4]
?b??2. 22111??1??因为a?b?1,所以?a??,??b???2,(a?)2?(b?)2?(2)2,
2??2?22?这时我们想到这和勾股定理有些相似,我们是不是可以尝试构造一个直角三角形,于是有:如图1.1
证明:构造如图的直角三角形,根据定理,三角形两边之和大于第三边, 所以2?a?1111?b?,而a??2cos?,b??2sin?,
2222所以a?11??b??2(cos??sin?)?2?2sin(??)?2 224
2
综上所述,2?a?11?b??2 22
图1.1
上面这个问题因为出现了形如a2?b2?c2的式子,所以我们想到构造一个直角三角形,如果题目中没有给出这么明显的唯一特征,我们能不能构造呢?
例1.2正数a,b,c,A,B,C,满足条件a?A?b?B?c?C?k,求证:
aB?bC?cA?k2
由求证的不等式aB,bC,cA,我们想到这是不是和面积有关,于是我们构造一个三角形,并且题干中a?A?b?B?c?C?k,所以我们构造一个等边三角形。于是有图1.2
图1.2
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证明:构造一个如图的等边三角形PQR,其中各个边角的关系如下
PN?C,NQ?c,QL?A,LR?a,RM?B,MP?b,考虑图形中的面积关系,有
S?LRM?S?MPN?S?NQL?S?PQR,又S?LPM?S?NQL?1?1?aBsin,S?MPN?bCsin, 23231?1?cAsin,S?PQR?k2sin,带入S?LRM?S?MPN?S?NQL?S?PQR,得23231?1?1?1?aBsin+bCsin+cAsin 2式两边的sin?都是sin?3,所以约掉,最后化简到aB?bC?cA?k2的形式。考虑 到面积更为简单的形式aB,bC,cA可以是长方形的面积,此时我们可以构造一个矩形,又a?A?b?B?c?C?k,我们不妨构造一个如图1.3的正方形. 图1.3 方法二,证明:构造一个如图所示的正方形PQRT,其中各边关系如下, PM?a,MT?A,TN?c,NR?C,RS?b,SQ?B,QL?b,LP?B,又正方形有如下 关系,S阴影1?S阴影2?S阴影3?SPQRT,带入数据得aB?bC?cA?k2。 虽然数与形是数学中不同的领域,但是这两个领域不是相互独立的。解题中亦是如此,如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义,那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时,我们构造的图形也有简单复杂之分,所以构造图形时我们要注意一点,构造几何图形要有正确的思考方 4 法,不能盲目去套用图形。从上面两个问题中我们可以简单总结一下思考原则:首先寻找题目中的条件与所求结论中的几何含义,然后考虑可以借用哪些有关的几何概念和性质,最后根据这些选择一个最好的几何图形。 2.2构造方程 方程作为数学解题中一个很重要的工具,是因为方程能把未知和已知联系在一起。遇到一些无从下手的问题时,构造方程可以把条件和结论之间联系起来,使问题中隐藏的关系显露出来,从而快速找到问题的突破口,进而解决问题。 例2.1 若p,q?R,且p3?q3?2,求证:0?p?q?2 题干中给出的是p3?q3的具体值,要求的结论是p?q的取值范围,我们尝试由p3?q3?2出发,有p3?q3?(p?q)3?3pq(p?q)?2,此时出现了要求的 p?q,但是多出来了pq,我们不妨利用方程,把pq解出来,这是p?q和pq显 然是方程的两个根,于是题目隐藏的关系暴露出来,解题思路也由此而生。 证明:由p3?q3?2,有p3?q3?(p?q)3?3pq(p?q)?2, k2?2显然p?q?0,设p?q?k,则pq? 3kk2?2?0,则p,q为方程的两个实根 构造二次方程x?kx?3k2k2?2?0,解得,0?k?2 故??k?4?3k2即0?p?q?2 上面的过程中构造了一个方程,然后我们要求的p?q的取值范围就变成了,二次方程有实根,解一个判别式大于等于零的不等式。 例2.2 已知a,b,c?R,满足a?b?c?0和abc?2,求证:a,b,c中至少有一个不小于2。[6] 和例2.1中类似,我们可以通过构造方程来发现隐藏的关系。 证明:由a?b?c?0,显然a,b,c中至少有个大于零,不妨设a?0, 5