内容发布更新时间 : 2024/12/27 18:17:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
勒贝格积分作业
一、单项选择题
1.设mE???，f(x)是E上处处有限的可测函数，则（ ）． (A) f(x)在E上勒贝格可积 (B) f(x)在E上黎曼可积 (C) f(x)是E上的简单函数 (D) 以上都不对
2.设mE???，f(x)与g(x)都在E上可积，则下列结论中正确的是（ ）． (A) f(x)?g(x)在E上可积 (B)
f(x)g(x)在E上可积 (C) f(x)?g(x)在E上可积 (D) f(x)?g(x)在E上可积 3.设f(x)???x,x?P0）．?x2,x?[0,1]\\P，其中P0是康托集，则
0?[0,1]f(x)dx?（ (A) 0 (B)
12 (C)
13 (D) 1 4.设f(x)是E上的可积函数，且?Ef(x)dx?0，则（ ）．
(A) 对E的任何可测子集e，有
?ef(x)dx?0
(B) 存在E的可测子集e，使?ef(x)dx?0
(C) f(x)在E上处处大于零 (D) 以上都不对 二、填空题
1.设mE???，则f(x)在E上有界可积是f(x)在E上有界可测的 条件． 2.若f(x)是E上的勒贝格可积函数，则f(x)在E上有限．
3.设f(x)????x2,x是[0,1]中的有理数?f(x)dx? ． ?x3,x是[0,1]中的无理数，则?[0,1]1
4.设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积是f(x)在E上可积的 条件． 三、证明题
1.设由[0,1]中取出n个可测集E1,E2,?,En，假设[0,1]中任意一点至少属于这n个集合中的q个，试证其中必有一集合，它的测度大于或等于
2.设{fn(x)}是E上的非负可积函数列，若
q． n?Efn(x)dx?0，则fn(x)?0．
3.设mE???，{fn(x)}为E上几乎处处有限的可测函数列，证明
?1?Efn(x)fn(x)dx?0的充分必要条件是fn(x)?0．
4.设f(x)是E上的可积函数，en?E[f(x)?n]，证明limn?men?0．
n??5.求
m??lim(R)?mxsinmxdx
01?m2x21126.证明
lim(R)?n??nxdx?0
01?n2x217.设f(x)在R上可积，g(y)在R上可积，证明f(x)?g(y)在R?R上可积，并且
pqpqRp?q?f(x)g(y)dxdy?(?f(x)dx)?(?g(y)dy)
RpRq8.设{fn(x)}是E上一列可测函数，limfn(x)?f(x) a.e.于E，而且存在E上可
n??积函数F(x)，使得fn(x)?F(x) a.e.于E(n?1,2,?)．证明{fn(x)}依测度收敛于
f(x)．
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