7-6-4 计数之递推法 教师版

内容发布更新时间 : 2025/5/4 10:54:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

7-6-4.计数之递推法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法.对这些计数方法与技巧要做到灵活运用.

教学目标

对于某些难以发现其一般情形的计数问题,可以找出其相邻数之间的递归关系,有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数,这种方法称为递推法. 【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子,而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来.如果一个人

在一月份买了一对小兔子,那么十二月份的时候他共有多少对兔子? 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 第一个月,有1对小兔子;第二个月,长成大兔子,所以还是1对;第三个月,大兔子生下一对小

兔子,所以共有2对;第四个月,刚生下的小兔子长成大兔子,而原来的大兔子又生下一对小兔子,共有3对;第五个月,两对大兔子生下2对小兔子,共有5对;……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数,每月的小兔子数为上月的大兔子数,即上上月的兔子数,所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加. 依次类推可以列出下表: 经过月数:---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12

兔子对数:---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144,所以十二月份的时候总共有144对兔子.

【答案】144

【例 2】 树木生长的过程中,新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长,而后才能萌发新枝.一棵树

苗在一年后长出一条新枝,第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发新枝;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则依次“休息”.这在生物学上称为“鲁德维格定律”.那么十年后这棵树上有多少条树枝? 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 一株树木各个年份的枝桠数,构成斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……所以

十年后树上有89条树枝.

【答案】89

【例 3】 一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法? 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答

例题精讲

7-6-4.计数之递推法.题库 教师版 page 1 of 9

【解析】 登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级

1种方法 2种 3种 5种 ...... ?

我们观察每级的种数,发现这么一个规律:从第三个数开始,每个数是前面两个数的和;依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用:假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A0,那么登了1级的位置是在A1,2级在A2... A10级就在A10.到A3的前一步有两个位置;分别是A2 和A1 .在这里要强调一点,那么A2 到A3 既然是一步到了,那么A2 、A3之间就是一种选择了;同理A1 到A3 也是一种选择了.同时我们假设到n级的选择数就是An .那么从A0 到A3 就可以分成两类了:第一类:A0 ---- A1 ------ A3 ,那么就可以分成两步.有A1×1种,也就是A1 种;(A1 ------ A3 是一种选择)第二类:A0 ---- A2 ------ A3, 同样道

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