内容发布更新时间 : 2025/6/17 23:35:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2、与平面x?y?2z?6?0垂直的单位向量为 ?6{1,?1,2}； 6解 平面的法向量 n={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为n0=1?1?4=6，所以，与平面垂直的
单位向量为?
6{1,?1,2}． 63、过点(?3,1,?2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为 7y?z?5?0 ；
解 已知平面平行于x轴，则平面方程可设为 By?Cz?D?0，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，
7?B??D,?71B?2C?D?0,5有 ? ?得 ?Dy?Dz?D?0，即 7y?z?5?0．
5C?D?0,155?C??D,
5?
?
4、过原点且垂直于平面2y?z?2?0的直线为
xy???z； 02解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n={0，2，-1}平行，取直线方向向量s=n={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为
xy???z ． 02?z?2x2?y2,?2x2?y2?1,5、曲线?在xOy平面上的投影曲线方程为 ?
?z?1?z?0.?2x2?y2?1,解: 投影柱面为 2x?y?1，故 ?为空间曲线在xOy平面上的投影曲线方程．
?z?022
四、解答题:
1、 已知a?{1,?2,1}，b?{1,1,2}，计算(a) a?b； (b) (2a?b)?(a?b)； (c) a?b；
2i1j1k1?{?5,?1,3}. 2解: (a) a?b=1?2(b) 2a?b?{2,?4,2}?{1,1,2}?{1,?5,0}，a?b?{1,?2,1}?{1,1,2}?{2,?1,3}， 所以(2a?b)?(a?b)?{1,?5,0}?{2,?1,3}?7．
2(c) a?b?{1,?2,1}?{1,1,2}?{0,?3,?1}，所以a?b?(9?1)?10．
2
2、已知向量P终点为P2(?1,4,7)，试求：(1)向量P (2)向量P1(2,?2,5)，1P2的始点为P1P2的坐标表示；1P2的模；(3)向量P1P2的方向余弦； (4)与向量P1P2方向一致的单位向量．
解: (1) P}?{?3,6,2}；(2)P1P2?1P2?{?1?2,4?(?2),7?5(?3)2?62?22?49?7；
(3) P1P2在x,y,z三个坐标轴上的方向余弦分别为cos???,cos???(4)(PP)?123762,cos??； 77P1P2P1P2??3i?6j?2k362??i?j?k．
77773、设向量a??1,?1,1?，b??1,1,?1?，求与a和b都垂直的单位向量.
i1j1解： 令c?a?b?1?11?11?1??0,2,2?，c0?c??0,,?，
c22???1k故与a、b都垂直的单位向量为?c0???0,??11?,?. 22?
?????4、向量d垂直于向量a?[2,3,?1]和b?[1,?2,3]，且与c?[2,?1,1]的数量积为?6，求向量d
??????解： d垂直于a与b，故d平行于a?b，存在数?使
d??a?b??[2,3,?1]?[1,?2,3]?[7?,?7?,?7?]
????????3因d?c??6，故2?7??(?1)?(?7?)?1?(?7?)??6， ???7?d?[?3,3,3].
5、求满足下列条件的平面方程：
(1)过三点P3(3,0,4)；(2)过x轴且与平面5x?2y?z?0的夹角为1(0,1,2)，P2(1,2,1)和Pπ． 3x?0解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为1?0y?1z?22?11?2?0，即x?