高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案

内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:44:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章 矩阵习题参考答案

一、 判断题

1. 对于任意n阶矩阵A,B,有A?B?A?B. 错.

2. 如果A2?0,则A?0. 错.如A???11?2?,A?0,但A?0.

??1?1?23. 如果A?A?E,则A为可逆矩阵.

正确.A?A2?E?A(E?A)?E,因此A可逆,且A?1?A?E.

4. 设A,B都是n阶非零矩阵,且AB?0,则A,B的秩一个等于n,一个小于n. 错.由AB?0可得r(A)?r(B)?n.若一个秩等于n,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n. 5.A,B,C为n阶方阵,若AB?AC, 则B?C. 错.如A???11??21??32?,B?,C??????,有AB?AC,但B?C.

??1?1???2?1???3?2?6.A为m?n矩阵,若r(A)?s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使

?IsPAQ???0?0??. 0??正确.右边为矩阵A的等价标准形,矩阵A等价于其标准形. 7.n阶矩阵A可逆,则A*也可逆.

*?A*A?|A|E正确.由A可逆可得|A|?0,又AA.因此A*也可逆,且

(A*)?1?

1A. |A|1

8.设A,B为n阶可逆矩阵,则(AB)*?B*A*. 正确.(AB)(AB)*?|AB|E?|A||B|E.又

(AB)(B*A*)?A(BB*)A*?A|B|EA*?|B|AA*?|A||B|E.

因此(AB)(AB)*?(AB)(B*A*).由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆,两边同时左乘式AB的逆可得(AB)*?B*A*. 二、 选择题

1.设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵(BT??B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B ).

(A) AB?BA (B) AB?BA (C) (AB)2 (D) BAB

(A)(D)为对称矩阵,(B)为反对称矩阵,(C)当A,B可交换时为对称矩阵. 2. 设A是任意一个n阶矩阵,那么( A)是对称矩阵.

(A) AA (B) A?A (C) A (D) A?A

3.以下结论不正确的是( C ).

(A) 如果A是上三角矩阵,则A也是上三角矩阵; (B) 如果A是对称矩阵,则 A也是对称矩阵; (C) 如果A是反对称矩阵,则A也是反对称矩阵; (D) 如果A是对角阵,则A也是对角阵.

4.A是m?k矩阵, B是k?t矩阵, 若B的第j列元素全为零,则下列结论正确的是(B )

(A) AB的第j行元素全等于零; (B)AB的第j列元素全等于零; (C) BA的第j行元素全等于零; (D) BA的第j列元素全等于零;

2222TT2T 2

5.设A,B为n阶方阵,E为n阶单位阵,则以下命题中正确的是(D ) (A) (A?B)2?A2?2AB?B2 (B) A2?B2?(A?B)(A?B) (C) (AB)2?A2B2 (D) A2?E2?(A?E)(A?E) 6.下列命题正确的是(B ).

(A) 若AB?AC,则B?C

(B) 若AB?AC,且A?0,则B?C (C) 若AB?AC,且A?0,则B?C (D) 若AB?AC,且B?0,C?0,则B?C 7. A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则( B). (A) 当m?n时,必有行列式AB?0; (B) 当m?n时,必有行列式AB?0 (C) 当n?m时,必有行列式AB?0; (D) 当n?m时,必有行列式AB?0.

AB为m阶方阵,当m?n时,r(A)?n,r(B)?n,因此r(AB)?n?m,所以

AB?0.

8.以下结论正确的是( C )

(A) 如果矩阵A的行列式A?0,则A?0; (B) 如果矩阵A满足A?0,则A?0;

(C) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的; (D) 对任意方阵A,B,有(A?B)(A?B)?A?B 9.设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量,A?(?1,?2,?3,?4),A*为A的伴随矩阵,

222已知Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)T,则方程组A*x?0的基础解系为( C ).

(A)?1,?2,?3. (B)?1??2,?2??3,?3??1.

3

(C)?2,?3,?4. (D)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.

?1???0T由Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)???0,?1?2?3?0.

?2????0?因此(A),(B)中向量组均为线性相关的,而(D)显然为线性相关的,因此答案为(C).由

A*A?A*(?1,?2,?3,?4)?(A*?1,A*?2,A*?3,A*?4)?O

可得?1,?2,?3,?4均为A*x?0的解.

10.设A是n阶矩阵,A适合下列条件( C )时,In?A必是可逆矩阵

nn(A) A?A (B) A是可逆矩阵 (C) A?0

(B) A主对角线上的元素全为零

11.n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是( D )

(A) A?1 (B) A?0 (C) A?A (D) A?0 12.A,B,C均是n阶矩阵,下列命题正确的是( A )

(A) 若A是可逆矩阵,则从AB?AC可推出BA?CA (B) 若A是可逆矩阵,则必有AB?BA (C) 若A?0,则从AB?AC可推出B?C (D) 若B?C,则必有AB?AC

13.A,B,C均是n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若ABC?E,则有(C ) (A) ACB?E (B)BAC?E (C)BCA?E (D) CBA?E 14.A是n阶方阵,A是其伴随矩阵,则下列结论错误的是( D )

(A) 若A是可逆矩阵,则A也是可逆矩阵; (B) 若A是不可逆矩阵,则A也是不可逆矩阵;

4

**

*

T**(C) 若A?0,则A是可逆矩阵; (D)AA?A.

AA*?AE?A.

*15.设A是5阶方阵,且A?0,则A?( D )

234n(A) A (B) A (C) A (D) A 16.设A是A?(aij)n?n的伴随阵,则AA中位于(i,j)的元素为(B )

(A)

*

*?ak?1njkAki (B)

?ak?1nkjAki (C) ?ajkAik (D) ?akiAkj

k?1k?1nn应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.

?a11?a1n??A11?A1n?????17.设A????, B????,其中Aij是aij的代数余子式,则(C ) ???????An1?Ann???an1?ann??(A) A是B的伴随 (B)B是A的伴随 (C)B是A?的伴随 (D)以上结论都不对

18.设A,B为方阵,分块对角阵C???A0?*,则C? ( C ) ??0B?0? *?BB?0??

ABB*??A*(A) C???0?AA*0? (B)C??*?B??0?BA*(C) C???0?ABA*0?? (D) C??AB*??0利用CC*?|C|E验证.

19.已知A???46??135?,下列运算可行的是( C ) ,B?????1?2??246?(A) A?B (B)A?B (C)AB (D)AB?BA

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