内容发布更新时间 : 2024/12/25 14:50:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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规范答题示例5 空间中的平行
与垂直关系
典例5 (12分)如图,四棱锥P—ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,
F,H分别为AB,PC,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAH⊥平面DEF.
设法利用考虑平行关系
审题路线图 (1)条件中各线段的中点中位线定理――→取PD的中点M长度关系――→ 线面平行平行四边形AEFM―→AM∥EF的判定定理――→EF∥平面PAD
面面垂直(2)平面PAD⊥平面ABCD PA⊥AD的性质――→PA⊥平面ABCD―→PA⊥DE
正方形ABCD中线面垂直面面垂直的―――――――――――――→DE⊥AH――→DE⊥平面PAH――→平面PAH⊥平面DEF E,H为AB,BC中点的判定定理判定定理
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规 范 解 答·分 步 得 分 证明 (1)取PD的中点M,连接FM,AM. 构 建 答 题 模 板 第一步 找线线:通过三角形或1∵在△PCD中,F,M分别为PC,PD的中点,∴FM∥CD且FM=CD. 2四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. 1∵在正方形ABCD中,AE∥CD且AE=CD, 2∴AE∥FM且AE=FM, ∴四边形AEFM为平行四边形, ∴AM∥EF,4分 ∵EF?平面PAD,AM?平面PAD, ∴EF∥平面PAD.6分 (2)∵侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD, 侧面PAD∩底面ABCD=AD,PA?平面PAD, ∴PA⊥底面ABCD,∵DE?底面ABCD,∴DE⊥PA. ∵E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点, ∴Rt△ABH≌Rt△DAE, 则∠BAH=∠ADE,∴∠BAH+∠AED=90°,∴DE⊥AH,8分 ∵PA?平面PAH,AH?平面PAH,PA∩AH=A,∴DE⊥平面PAH, ∵DE?平面EFD,∴平面PAH⊥平面DEF.12分 第二步 找线面:通过线线垂直或平行,利用判定定理,找线面垂直或平行;也可由面面关系的性质找线面垂直或平行. 第三步 找面面:通过面面关系的判定定理,寻找面面垂直或平行. 第四步 写步骤:严格按照定理中的条件规范书写解题步骤. 评分细则 (1)第(1)问证出AE綊FM给2分;通过AM∥EF证线面平行时,缺1个条件扣1分;利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分;
(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分;证明DE⊥AH时只要指明E,H分别为正
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方形边AB,BC的中点得DE⊥AH不扣分;证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH,DE⊥PA,缺少条件不扣分.
跟踪演练5 (2018·全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
2
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
3(1)证明 由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC. 又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD,AC?平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC, 所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32. 2
又BP=DQ=DA,所以BP=22.
3如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,
1
则QE∥DC且QE=DC.
3
由已知及(1)可得,DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱锥Q-ABP的体积为
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13
VQ-ABP=×S△ABP×QE
11
=××3×22sin 45°×1=1. 32
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