2020高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-3函数的奇偶性与周期性学案理

内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:24:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数

Ⅰ2-3函数的奇偶性与周期性学案理

考纲展示?

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

考点1 函数奇偶性的判断

函数的奇偶性

奇偶性偶函数 定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________,那么函数f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________,那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点关于________对称 奇函数 关于________对称 答案:f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点

[教材习题改编] 函数f(x)=x3, f(x)=x4,f(x)=x2-,f(x)=+|x|中,偶函数的个数是__________.

答案:2

解析:f(x)=x4和f(x)=x2-为偶函数.

判断函数奇偶性的易错点:忽略定义域;变形错误.

(1)函数f(x)=(x+1)在定义域上是________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案:非奇非偶

解析:要使函数有意义,必须使≥0,即≤0,解得-1

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(2)函数f(x)= 在定义域上是__________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案:奇

解析:当x>1时,-x<-1,所以f(-x)=(-x)2-2=-(-x2+2)=-f(x); 当x<-1时,-x>1,所以f(-x)=-(-x)2+2=-(x2-2)=-f(x); 当|x|≤1时,f(-x)=0=-f(x). 综上可知f(x)是奇函数.

[典题1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+); (2)f(x)=(1-x); (3)f(x)= (4)f(x)=.

[解] (1)∵>|x|≥0,

∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)lg[-x+] =-xlg(-x)=xlg(+x)=f(x). 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)当且仅当≥0时函数有意义, ∴-1≤x<1,

由于定义域关于原点不对称, ∴函数f(x)是非奇非偶函数.

(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. (4)∵?-2≤x≤2且x≠0,

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∴函数的定义域关于原点对称. ∴f(x)==, 又f(-x)==-,

∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. [点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法: (2)图象法: (3)性质法:

①设f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.

[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.

考点2 函数的周期性

函数的周期性 (1)周期函数:

对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,

都有________,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数,那么这个

________就叫做f(x)的最小正周期.

答案:(1)f(x+T)=f(x) (2)最小 最小正数

(1)[教材习题改编]已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=

log4(x2+3),则f(2 017)=__________.

答案:1

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