内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:12:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
AB①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; SS两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
abCD如右图S1:S2?a:b
12③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图S△ACD?S△BCD; 反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),
则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADEEDC AS1图⑴ 图⑵ S4S2O三、蝶形定理
S3任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
B①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
BCBCa模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边ADS1形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积S2S4O对应的对角线的比例关系.
S3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
①S1:S3?a2:b2 Bb22②S1:S3:S2:S4?a:b:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?2.
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
CAEAFDDBABACFGBCAGEC
BGC
①AD?AE?DE?AF;
②S△ADE:S△ABC?AF2:AG2.
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么AS?ABO:S?ACO?BD:DC.
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因EF为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称
O为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运
CD用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,B为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题
【例 1】 如图,正方形
ABCD的边长为6,AE?1.5,CF?2.长方形EFGH的面
积为 .
_H _D_H _D_A_E
_G
_A
_E
_G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33.
【巩固】如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘
米,那么长方形的宽为几厘米?
_ E_ A_ F
_ D
_ G
_ C _ B
_ F
_ D
_ C
_ A_ E_ B
_ G
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明:连接AG.(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在
一起).
∵在正方形ABCD中,S△ABG??AB?AB边上的高, ∴S△ABG?S的一半)
1S?SEFGB. 同理,△ABG21212ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
∴正方形ABCD与长方形
?8?8?10?6.4(厘米).
EFGB面积相等. 长方形的宽
【例 2】 长方形ABCD的面积为
A36cm2,E、F、G为各边中点,H为AD边上任
意一点,问阴影部分面积是多少?
HDEGBFC【解析】 解法一:寻找可利用的条件,连接BH、HC,如下图:
HDA
EGBFC 可得:S?EHB?S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC,而
SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36
1212
12 即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18; 而
S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF1212,
11111S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5.
22228 所以阴影部分的面积是:S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5
解法二:特殊点法.找H的特殊点,把H点与D点重合,
那么图形就可变成右图:
AD(H)EG
这样阴影部分的面积就是?DEF的面积,根据鸟头定理,则有:
FCB1111111S阴影?SABCD?S?AED?S?BEF?S?CFD?36???36????36???36?13.5.
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边
二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积.
ADA(P)DADPP
【解析】 (法1)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,
假设P点与A点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴
影三角形的面积分别占正方形面积的1和1,所以阴影部分的面积为
46BCBCBC1162?(?)?15平方厘米.
46(法2)连接PA、PC.
由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知
4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,所以阴
6影部分的面积为62?(1?1)?15平方厘米.
46
【例 3】 如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为
70,AB?8,
AD?15,四边形EFGO的面积为 .
ADOEBFGC【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的
面积之和,以及三角形AOE和DOG的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积.
由于长方形ABCD的面积为15?8?120,所以三角形BOC的面积为
13?30,所以三角形AOE和DOG的面积之和为120??70?20; 4411?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120??????30,所以?24?120?四边形EFGO的面积为30?20?10.
另解:从整体上来看,四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积,而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部