内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:38:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
分的面积,即120?70?50,所以四边形的面积为60?50?10.
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点,AE?2ED,则
阴影部分的面积为 .
AOB【解析】 如图,连接OE.
EDAMOBENDC
C
根据蝶形定理,ON:ND?S?COE:S?CDE?S?CAE:S?CDE?1:1,所以
S?OEN?1S?OED; 21211OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4,所以S?OEM?S?OEA.
5211又S?OED??S矩形ABCD?3,S?OEA?2S?OED?6,所以阴影部分面积为:
34113??6??2.7. 25
【例 4】 已知ABC为等边三角形,面积为
400,D、E、F分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC)
A甲乙IJMBNH丙EDF
【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点,所以DE、DF、EF是三角形ABC的
中位线,也就与对应的边平行,根据面积比例模型,三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半,即为200.
根据图形的容斥关系,有S?ABC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN,
即400?S丙? 200?200?SAMHN,所以S丙?SAMHN. 又S阴影?S?ADF?S甲?S乙?SAMHN,所以
1S阴影?S甲?S乙?S丙?S?ADF?143??400?43.
4C
【例 5】 如图,已知CD?5,DE?7,EF?15,FG?6,线段AB将图形分成两部
分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是 .
AACDBEFGCDBEFG
【解析】 连接AF,BD.
根据题意可知,CF?5?7?15?27;DG?7?15?6?28;
15S?CBF,S?BEC?12S?CBF,S?AEG?21S?ADG,S?AED?7S?ADG, 272827287122115S?S?CBF?38; S?S?65于是:;?ADG?ADG?CBF28272827可得S?ADG?40.故三角形ADG的面积是40.
所以,S?BEF?
【例 6】 如图在△ABC中,且AD:AB?2:5,D,E分别是AB,AC上的点,AE:AC?4:7,
S△ADE?16平方厘米,求△ABC的面积.
AADEDEBCBC【解析】 连接BE,S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4),
S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)
,所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5),设
S△ADE?8份,则S△ABC?35份,S△ADE?16平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .
【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角
形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少?
ADECDAECB【解析】 连接BE.
B
∵EC?3AE
∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD
∴SADE?SABE?5?SABC?15,∴SABC?15SADE?15.
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD?DC?4,
BE?3,AE?6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
AEB甲DEA乙C【解析】 连接AD.
B甲D乙C
∵BE?3,AE?6
∴AB?3BE,SABD?3SBDE 又∵BD?DC?4,
∴SABC?2SABD,∴SABC?6SBDE,S乙?5S甲.
【例 7】 如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD?5:2,
AE:EC?3:2,S△ADE?12平方厘米,求△ABC的面积.
DDAAEBCE
【解析】 连接BE,S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)
S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?,
所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25,设S△ADE?6份,则S△ABC?25份,S△ADE?12平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
BC
【例 8】 如图,平行四边形ABCD,BE?AB,CF?2CB,GD?3DC,HA?4AD,平
行四边形ABCD的面积是2, 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
HHAGDFBCEAGDFBCE
【解析】 连接AC、BD.根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中,?ABC与?FBE互补,
∴S△ABC?AB?BC?1?1?1.
S△FBEBE?BF1?33
又S△ABC?1,所以S△FBE?3.
同理可得S△GCF?8,S△DHG?15,S△AEH?8.
所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36. 所以SABCDSEFGH?21?. 3618
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少?
C1312O131213D13
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此,原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示,?ABC中,?ABC?90?,AB?3,BC?5,以AC为一边向?ABC外作正方形ACDE,中心为O,求?OBC的面积.
1212ABEEOA3B5CDOA3DC5 B
【解析】 如图,将?OAB沿着O点顺时针旋转90?,到达?OCF的位置.
由于?ABC?90?,?AOC?90?,所以?OAB??OCB?180?.而?OCF??OAB, 所以?OCF??OCB?180?,那么B、C、F三点在一条直线上.
由于OB?OF,?BOF??AOC?90?,所以?BOF是等腰直角三角形,且斜边BF为5?3?8,所以它的面积为82?1?16.
F4根据面积比例模型,?OBC的面积为16?5?10.
8
【例 11】 如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,
?AEB?90?,AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形OBE的面积.
CBCBOEDADOEAF
【解析】 如图,连接DE,以A点为中心,将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置.
那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?,而?AEB也是90?,所以四边形AFBE是直角梯形,且AF?AE?3, 所以梯形AFBE的面积为:
?3?5??3?1?12(cm2). 2又因为?ABE是直角三角形,根据勾股定理,AB2?AE2?BE2?32?52?34,
2所以S?ABD?AB?17(cm2).
12那么S?BDE?S?ABD??S?ABE?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2), 所以S?OBE?S?BDE?2.5(cm2).
12