内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:04:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
所以SSPQR?1?1?(1?1?2)?263(cm2).
(法2)如图,连结AE,则S?ABE?1?4?4?8(cm2),
2而RB?ER,所以RB?AB?2,S?ABR?2S?ABE?2?8?16(cm2).
ABEFEFEF333而S?MBQ?S?ANS?1?3?4?1?3(cm2),因为MN?MP,
22DCPC所以MP?1MC,则S?MNP?1?2?4?1?4(cm2),阴影部分面积等于
32331642S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP??3?3??(cm2).
333
【例 26】 如右图,三角形ABC中,BD:DC?4:9,CE:EA?4:3,求AF:FB.
AFBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27
S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我
们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?3:4,AE:CE?5:6,求AF:FB.
AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?2:3,EA:CE?5:4,求AF:FB.
AFBODEC【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我
们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【例 27】 如右图,三角形ABC中,AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2,且三角形ABC的
面积是1,则三角形ABE的面积为______,三角形AGE的面积为________,三角形GHI的面积为______.
AEFHBGIDCAEFHGIDC【分析】 连接AH、BI、CG.
5B
由于CE:AE?3:2,所以AE?2AC,故S?ABE?2S?ABC?2;
55根据燕尾定理,S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3,S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2,所以
S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9,则S?ACG?4,S?BCG?9; 1919那么S?AGE?2S?AGC?2?548; ?51995S?ACH?919同样分析可得
EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19,则
EG:EH?S?ACG:S?ACH?4:9,
,所以
EG:GH:HB?4:5:10,同样分析可得.
AG:GI:ID?10:5:4,
所以S?BIE?5S?BAE?5?2?1,S?GHI?5S?BIE?5?1?11010551919519【巩固】 如右图,三角形ABC中,AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.
AAFIBHGDEFICBHGDEC【解析】 连接
BG,S△AGC据
燕
?6份
,
根尾定理,
S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6
得S△BGC?4(份),S△ABG?9(份),则S△ABC?19(份),因此S△AGCS△ABC?6, 19同理连接AI、CH得S△ABHS△ABC?S6S△BIC619?6?6?61,?,所以△GHI??19S△ABC19S△ABC1919
三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19
【巩固】如图,?ABC中BD?2DA,CE?2EB,AF?2FC,那么?ABC的面积是阴
影三角形面积的 倍.
ADGFHBEICHICBEDGFA【分析】 如图,连接AI.
根据燕尾定理,S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1,S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2,
所以,S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4,那么,S?BCI?2S?ABC?2S?ABC.
1?2?47同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的2,所以阴影三角
7形的面积等于?ABC面积的1?2?3?1,所以?ABC的面积是阴影三角形
77面积的7倍.
【巩固】如图在△ABC中,DC?EA?FB?1,求△GHI的面积的值.
DBECFA2△ABC的面积AEHFIBGDCBFIAEHGDC【解析】 连接
BG,设S△BGC?1份,根据燕尾定理
S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得S△AGC?2(份),
S2S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份),因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图,三角形ABC的面积是1,BD?DE?EC,CF?FG?GA,三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与
AE交于点N.连接CP,CQ,CM,CN.
根据燕尾定理,S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2,S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2,设
S△ABP?1(份),则S△ABC?1?2?2?5(份),所以S△ABP?DEC1 575335同理可得,S△ABQ?2,S△ABN7121S△AQG???.
3721?12,而S△ABG?1,所以S△APQ?2?1?3,
同理,S△BPMS四边形MNED311239,S△BDM?,所以S四边形PQMN????35212735701395,S四边形NFCE?1?1?5?1,S四边形GFNQ?1?1?1?5 ????3357042321426321642?
【巩固】如图,?ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点,那么四边形JKIH的面积是多少?
CFGKA【解析】 连接CK、CI、CJCDEGKBIHBAFJDEJIH
.
1111?,S?AGK?S?ACK?. 1?2?47321根据燕尾定理,S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2,S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2, 所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4,那么S?ACK?类似分析可得S?AGI又S?ABJ:S?CBJ那么,SCGKJ?2. 151. 4?AF:CF?2:1,S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1,可得S?ACJ??1117??. 4218484172161所以四边形JKIH??2???,
8415370根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为17,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE的面积为1?61?709. 70
【例 29】 右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,
已知△ABM的面积比四边形FCGN的AD与BG交于M,AF与BG交于N,面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?
AGMFCBDEFCAGNMB【解析】 连接CM、CN.
NDE
根据燕尾定理,S△ABM:S△CBM1S△ABM?S△ABC;
5?AG:GC?1:1,S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3,所以
再根据燕尾定理,S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1,所以
S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3,所以AN:NF?4:3,那么
S△ANG142???S△AFC24?37,