内容发布更新时间 : 2024/12/22 18:19:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出： ﹣2=﹣0.5x2+2，
解得：x=±22，所以水面宽度增加到42米，比原先的宽度当然是增加了（42﹣4）米，
故答案为：42﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分） 15．
【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），可以求得a、b的值，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
?a?b?3?0∴?， ?9a?3b?3?0解得，
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?a?1， ??b??2即a的值是1，b的值是﹣2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16．
【分析】（1）把（﹣2，5）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值； （2）利用表中数据求解．
??4?2b?c?5?b??2【解答】解：（1）根据表格数据可得?，解得?，
?1?b?c?2c?5??∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；
（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 17．
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
?m2?m?0【解答】解：依题意得?
?m?1?0?m?0或m?1∴? ?m?1∴m=0；
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（2）依题意得m2﹣m≠0， ∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键． 18．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得ab=﹣1，a+b=1，a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3．根据题意知，二次函数经过点（a，b），（b，a），（1，1）．把它们代入二次函数解析式f（x）=kx2+dx+c（k≠0），列出方程组，通过解方程组可以求得k、d、c的值． 【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1=0的两个根为a、b， ∴ab=﹣1，a+b=1，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3． 设f（x）=kx2+dx+c（k≠0）， ∵f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1，
∴，
由①﹣②，得（a+b）k+d=﹣1，即k+d=﹣1，④
由①+②，得k（a2+b2）+d（a+b）+2c=a+b，即3k+d+2c=1，⑤ 把④代入③解得c=2． 则由⑤得3k+d=﹣3，⑥ 由③⑥解得，k=﹣1，d=0． 故该二次函数是f（x）=﹣x2+2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数解析式的求解及其常用方法，解方程组．解题时要认真审题，仔细解答． 19．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣
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329x+x+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标． 16893【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，得
216?c?3?9， ?3??16?4b?c???2?169??b?解得?8；
??c?3
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣
329x+x+3． 16893225△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，
816643所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．
1639∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8
168∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系． 20．
【分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=m+3．
当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，
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∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标． 21．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）先依据抛物线的对称轴方程求得m的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得点A的坐标．
【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+mx+（m+1）（m为常数）， ∴△=m2+4（m+1）=（m+2）2≥0，
∴该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2． 故答案为：1或2．
（2）∵抛物线的对称轴是直线x=1， ∴
m=1，解得m=2， 2∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
y=﹣x2+2x+3═﹣x2+2x﹣1+4=﹣（x﹣1）2+4， ∴A（1，4）．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点个数与△之间的关系是解题的关键． 22．
【分析】先求出该抛物线的对称轴，然后根据对称轴的位置即可求出a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b，当b=﹣3时， 二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4=9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3， 解得，a1=﹣2，a2=﹣4，
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