内容发布更新时间 : 2024/12/26 15:17:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．
由题意，X的取值为0，1，2，3，则 P（X＝0）＝
＝，P（X＝1）＝
＝，
P（X＝2）＝∴X的分布列为
X P
＝，P（X＝3）＝＝，
0
1
＝1.2．
2
3
数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×
19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB （1）求证：PO⊥面ABCE．
（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．
【分析】（1）取BC的中点F，连OF，PF，证明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF
从而证明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE
（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为
，得到AC与面PAB所成
角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝
解：（1）PA＝PE，OA＝OE∴PO⊥AE（1）
取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC 因为PB＝PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF 从而BC⊥PO（2）
由（1）（2）可得PO⊥面ABCE
（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系
，
设平面PAB的法向量为AC
与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝
20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴
和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程；
（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由已知条件推出
，
，
所以λ1+λ2＝﹣3，即y1y2+m（y1+y2）＝0，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入
上式，即可得到直线l过定点．
解：（1）由题意可知，解得：，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2）， 设直线l的方程为x＝t（y﹣m）， 由
知，（x1，y1﹣m）＝λ1（x0﹣x1，﹣y1），∴y1﹣m＝﹣y1λ1，
由题意λ1≠0，∴，
同理由知，，
∴λ1+λ2＝﹣3，∴y1y2+m（y1+y2）＝0 ①， 联立方程
，消去x得：（t2+3）y2﹣2mt2y+t2m2﹣3＝0，
∴需△＝4m2t4﹣4（t2+3）（t2m2﹣3）＞0 ②， 且有
，
③，
把③代入①得：t2m2﹣3+m?2mt2＝0，∴（mt）2＝1， 由题意mt＜0，∴mt＝﹣1，满足②式，
∴直线l的方程为x＝ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）． （1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）； （2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得b＝0，得到f（x）和g（x）的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值； （2）求得f（x）的解析式，由条件化简可得2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，求得导数和单调区间，可得h（t）的最小值，进而
运用因式分解，即可得到结论．
解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的导数为： f′（x）＝﹣ax+b，
可得图象在x＝1处的切线l的斜率为k＝1﹣a+b， 切点为（1，1+b﹣a）， 由切线经过点（，），
可得1﹣a+b＝，
化简可得，b＝0，
则f（x）＝lnx﹣ax2+1，g（x）＝lnx﹣ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0）， g′（x）＝﹣ax﹣（a﹣1）＝﹣
，
当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减． 可得g（x）max＝g（）＝﹣lna﹣
+1﹣1+＝
﹣lna；
（2）证明：a＝﹣4时，f（x）＝lnx+2x2+1， f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，
可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2＝2， 化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2）， 即有2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2）， 令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，
h′（t）＝1﹣，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．
即有h（t）在t＝1取得最小值1， 则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1， 可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0， 则2x1+2x2﹣1≥0，