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2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1?3i等于（ ） 3?iA．i B．?i C．3?i D．3?i
（1）复数解：1?3i1?3i1???i故选A 3?i?i(1?3i)?i2（2）设集合A?xx?2?2,x?R，B?y|y??x,?1?x?2，则CR?AB?????等于（ ）
A．R B．xx?R,x?0 C．?0? D．? 解：A?[0,2]，B?[?4,0]，所以CR?A2??B??CR{0}，故选B。
x2y2??1的右焦点重合，则p的值为（ ）（3）若抛物线y?2px的焦点与椭圆 62A．?2 B．2 C．?4 D．4
x2y2??1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0)，则解：椭圆62p?4，故选D。
22?a?b?a?b（4）设a,b?R，已知命题p:a?b；命题q:?，则p是q成立的??2?2?2（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22?a?b?a?b解：命题p:a?b是命题q:?等号成立的条件，故选B。 ??22???2x,x?0（5）函数y??2 的反函数是（ ）
?x,x?0?2?x?x2x,x?0,x?0,x?0????2x,x?0??A．y??2 B．y?? C． D．y?? y??2????x,x?0???x,x?0??x,x?0???x,x?0??解：有关分段函数的反函数的求法，选C。
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（6）将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a??????,0??6?平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A．y?sin(x?C．y?sin(2x??) B．y?sin(x?) 66) D．y?sin(2x?) 33??????,0??6??平移，平移后的图象所对应的解析式为y?sin?(x?)，由图
67??3??)?象知，?(，所以??2，因此选C。 1262（7）若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 解：与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0，故选A
sinx?a(0?x??)，下列结论正确的是（ ） （8）设a?0，对于函数f?x??sinx解：将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
sinx?a(0?x??)的值域为函数
sinxaay?1?,t?(0,1]的值域，又a?0，所以y?1?,t?(0,1]是一个减函减，故选B。
tt（9）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：令t?sinx,t?(0,1]，则函数f?x??12222? ? B．? C．? D．33333a2解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8??23知，a?1，
4则此球的直径为2，故选A。
?x?y?1?0?（10）如果实数x、y满足条件?y?1?0 ，那么2x?y的最大值为（ ）
?x?y?1?0?A．2 B．1 C．?2 D．?3 解：当直线2x?y?t过点(0，-1)时，t最大，故选B。 （11）如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则
A．（ ） A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形
C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形
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解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?A1B1C1是锐角三角形，若?A2B2C2是
????sinA?cosA?sin(?A)A?211??22?A12???????A2?B2?C2?，锐角三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得?B2??B1，那么，
222??????sinC?cosC?sin(?C)C?211??22?C12??所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。
（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概．．率为（ ）
1234 B． C． D． 77773解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形，要得直角非等腰三角形，．．
A．
则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得所以选C。
24，C832006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 ．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
3?21?3x（13）设常数a?0，?ax?展开式中的系数为，则?2x??lim(a?a2?????an)?_____。
n??4解：Tr?1?Car44?rx8?2rx1?r2，由x8?2rx1?r231r4?ra=知a=，所以?x3,得r?2,由C4221lim(a?a2?????an)?2?1，所以为1。 n??11?2BCD中，AB?a,AD?b,AN?3NC，（14）在AM为BC的中点，则MN?_______。
b表示） （用a、解：由AN?3NC得4AN?3AC=3(a?b)，AM?a?1b，所以2MN?3111(a?b)?(a?b)??a?b。 4244（15）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1，若f?1???5,则f?x?f?f?5???__________。
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11解：由f?x?2??f?x?得f?x?4??f?x?2??f(x)，所以f(5)?f(1)??5，则f?f?5???f(?5)?f(?1)?11f(?1?2)??5。
D1 （16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方
体的一个顶点A在平面?内，其余顶点在?的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到?的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点D
C 中的一个，则P到平面?的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
?以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号A ．．
） 解：如图，B、D、A第16题图1到平面?的距离分别为1、2、4，则D、A1的中
点到平面?的距离为3，所以D51到平面?的距离为6；B、A1的中点到平面?的距离为2，所以B1到平面?的距离为5；则D、B的中点到平面?的距离为32，所以C到平面?的距离为3；C、A1的中点到平面?的距离为
72，所以C1到平面?的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知3?4????,tan??cot???103 （Ⅰ）求tan?的值；
5sin2??11cos2?（Ⅱ）求
2?8sin?2cos2?2?8的值。
2sin???????2??解：(Ⅰ)由tan??cot???1023得3tan??10tan??3?0，即
tan???3或tan???13，又3?4????，所以tan???13为所求。
5sin2??8sin?cos??11cos2?1-cos??4sin??111+cos??8（Ⅱ）222?85222sin???2=?2 ????cos?2??=5?5cos??8sin??11?11cos??168sin??6cos?8tan?22cos?=?22cos????6?22=?526。
（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要
对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用?表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出?的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求?的数学期望E?。（要求写出计算过程或说明道理） 解：（Ⅰ） ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第9页
C1 A1
B1
B
P 112232211 151515151515151515（Ⅱ）E??1?
112232221?2??3??4??5??6??7??8??9??5P 151515151515151515F
H A
O B 第19题图
C D E
（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF
所在平面外一点，PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，ABF为等腰三角形， ∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO?1，2DO?33，BO?。 22过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以?AHD为所
求二面角平面角。
1721AO在AHO中，OH=，tan?AHO?。 ?2=7OH2122173DO21在DHO中，tan?DHO?； ?2?OH2217721?4?282221而tan?AHD?tan(?AHO??DHO)? ??7213211??2221（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，?0,0)，D(0,2，0)，∴PA?(0,?,?1)，PB?(13,0)，B(，223,0,?1)，PD?(0,2,?1) 2?1?y1?1?0??2设平面PAB的法向量为n1?(x1,y1,1)，则n1?PA，n1?PB，得?，
?3x?1?01??223n1?(,?2,1)；
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