内容发布更新时间 : 2025/6/22 14:25:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第四章
4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?情况下的根轨迹图。
解：（1）负反馈情况
令s(s?1)(s?2)=0，解得 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??2
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?2,j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?2?,??1,0?两段。
K 试绘制该系统在正、负反馈
s(s?1)(s?2)由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1
（2k?1）?（2k?1）?=，（k=0,1,2）
n?m3当k=0,1,2时，计算得?a分别为60°，180°，-60° 确定分离点，由
111++=0解得d1??0.42,d2??1.58由于d2不是根轨迹上dd?1d?2的点，故不是分离点，分离点坐标为d1
确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s?3s?2s?K=0令s=j? 代入上式得?j??3??2j??K=0 写出实部和虚部方程
2???K?3?=0????2??=0或? 可求得 ??3K?0????K?6?2????03232因此，根轨迹在???2处与虚轴相交，交点处的增益K?6；另外实轴上的根轨迹分支在??0处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示
（2）正反馈情况
令s(s?1)(s?2)=0，解得 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??2
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?2,j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为??2,?1?,?0,???两段。
由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a=?p??zii?1j?1nmjn?m??1
2k?，（k=0,1,2） 3当k=0,1,2时，计算得?a分别为0°，120°，-120° 确定分离点，由
111++=0解得d1??0.42,d2??1.58由于d1不是根轨迹上dd?1d?2的点，故不是分离点，分离点坐标为d2
确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s?3s?2s-K=0将s=j? 代入上式得?j?3?3?2?2j?-K=0 写出实部和虚部方程
2???-K?3?=0????2??=0或? 可求得 ??3K?0????K?-6?2????032因此，根轨迹在??0处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示 4-2设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。
解：系统实轴上的根轨迹为???,?z?,?p,0? 根轨迹分离点坐标满足
K(s+z)(z?p)绘制根轨迹图，证明根轨迹
s(s?p)11122+=解得d1??z?z?pz,d2??z?z?pz dd?pd?z4Kz?(p?K)2p?K系统闭环特征方程s?(p?K)s+Kz=0解得s1,2=- ?j2224Kz?(p?K)2p?K令x=-则 ,y?22p?K2(p?K)22(x?z)=(z-)?z?z(p?K)?24 224Kz?(p?K)(p?K)y2??Kz?442两式相加得(x?z)?y=z?zp 又分离点d到开环零点距离r=d?z?222z2?pz 即(x?z)2?y2?r2=(d?z)2
故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下：
4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。 （1）G(s)?K(s?2)K(s?1) （2）G(s)?2
s(s?1)(s?3)s(0.1s?1)K(s?1)K(s?5) （4）G(s)? 2s(s?1)(s?3)（3）G(s)