内容发布更新时间 : 2024/11/15 20:48:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题． 【解答】解：∵AB是⊙O切线， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∴
的长为
．
=
．
故答案为
三、解答题
1. (·新疆)如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD=
，以O为圆心，OC为半径作
，交OB于E点．
（1）求⊙O的半径OA的长； （2）计算阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；垂径定理．
【分析】（1）首先证明OA⊥DF，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据S圆=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE计算即可． 【解答】解；（1）连接OD，
∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵CD∥OB， ∴∠OCD=90°，
在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=∴OD=2CO，设OC=x， ∴x2+（∴x=1， ∴OD=2，
∴⊙O的半径为2． （2）∵sin∠CDO=∴∠CDO=30°， ∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°， ∴S圆=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE =×=
+
+．
﹣
=，
）2=（2x）2，
，
【点评】本题考查扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．
2. (·云南)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；
（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8， ∴CD=∴S△OCD=
==
=8
=4，
，
∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8
﹣
，
﹣
． ，
∴阴影部分的面积为8
【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OC⊥DE，解（2）的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．
3. （·四川成都·9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当
=时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．