内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:12:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
通常称之为频谱.其大小描述了幅度随时间变化的关系,称为幅度谱;其相位描述了相位随时间变化的关系,称为相位谱.指数形式的Fourier级数表明,任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和,其各分量的复数幅度(或相量)就是Fn.由于指数形式表达简洁,便于计算,且物理概念清楚,在通信中广泛应用[2].
例1已知一周期矩形信号f(t),幅度为A,脉宽为?,周期为T,如图2所示.求f(t)的频谱Fn及其指数形式的Fourier级数.
f(t)
图2 t ? -? ?1T1?jn?tFn??2Tf(t)e1dt??2?Ae?jn?1tdt T?2T?2n??1sin()A??jn?jn?A?n??A12An??111222?Sa(1) ?(e?e)?sin()?T(n??T2T?jn?1n?1T21)2??Sa(x)?式中, sinx称为取样函数.由此得周期矩形信号f(t)的指数Fourier级数x为 A?f(t)?Tn????Sa(??n??1)?ejn?1t 2据此可以画出Fn的双边频谱.显然,频谱的包络分布服从抽样函数分布规律,幅度呈衰减震荡且出现周期性的零点. word文档 可编辑复制 周期信号的频谱具有如下几个共同特性. (1)离散型.周期信号的频谱中各谱线是不连续的,所有频谱均由最小间隔为基频?1的谱线组成.由于谱线之间的最小间隔为基频?1,而?1?2?T,故信号的周期决定了谱线之间的最小间隔,信号周期T越大,基频就越小,谱线之间越密;反之,T越小,?1越大,谱线之间越疏.由于非周期信号可以看做是T??的周期信号,因此可以预见,非周期信号的频谱应该是连续谱. (2)谐波性.谱线只出现在基频整数倍的频率n?1位置上. (3)收敛性.即幅度衰减特性,实际上工程中遇到的绝大多数信号,其幅度谱线将随频率n?1的增加不断衰减,并最终趋于零. 3.1.2 非周期信号的频谱分析 由上文可知,令周期信号的重复周期T??,则可以将其视为非周期信号.为了描述非周期信号的频谱特性,引入了频谱密度的概念.非周期信号的频谱密度定义为F(?)?limFnT T??经推导有 F(?)?????? f(t)e?j?tdt (3.4) ??1f(t)?2????F(?)ej?td? (3.5) 式(3.4)和式(3.5)为一个Fourier变换对.式(3.4)称为f(t)的Fourier变换,即频谱密度函数,简称频谱.式(3.5)称为Fourier逆变换,已知频谱即可求出信号的时域表达式.时间信号f(t)与其Fourier逆变换F(?)是一一对应的关系,知其一可求另一,故简记为f(t)?F(?). 例2 已知一非周期矩形信号如图3所示,求其频谱. word文档 可编辑复制 f(t) 图3 t |t|??2?1 解:矩形脉冲信号又称门函数,表达式为G???.直接利用Fourier 0 |t|>?2?变换的定义式(4.4)求得矩形脉冲信号的频谱为 ??j?tF(?)??G?e????dt???1?e2?2?j?tdt?e?j??2?e?j?j??22sin(???2)??Sa(??2?) 即 G?(t)??Sa(??2) 由以上得出的函数表达式即可绘出非周期矩形信号的频谱.并可知道非周期矩形信号的频谱是一个连续谱. Fourier变换是信号时域分析和频域分析的桥梁,在理论分析和工程实际中都有着广泛的应用. 例3 试求取样函数频谱密度. 解:取样函数的定义是: Sa(t)?sintt 采样函数Sa(t)的频谱密度为 F(?)?????? 1-???1??, sint?j?tedt?? 0, 其他t?可见,时域中的Sa(t)的Fourier变换是一个门脉冲函数.反之,时域中的门脉冲函数的Fourier变换一定是个Sa(?)函数.也即例2中的结果,其实这不是巧合,而是由于Fourier变换与频域的对称性而具有的结果.[4] 例4 正弦信号的频谱. 正弦信号可以用指数函数来表示,下面来研究指数信号Aej?0t(???t???)的傅氏变换.仿照前面的积分方法,可以求得它的傅氏变换为 word文档 可编辑复制 F(?)?lim?Aej?0t?e?j?tdt?lim?Ae?j(???0)tdt????????????sin(???0)? ?lim2A??2A???(???0)???0??? 即 Aej?0t?2?A?(???0) 同样的方法可以得到 Ae?j?0t?2?A?(???0) 因为 Acos?0t?1j?0t1-j?0tAe+Ae 22根据傅氏变换的叠加性质得到 Acos?0t??A[?(???0)??(???0)] 所以,正弦信号的傅氏变换在频谱图上表示为在正负频率轴??0位置上的冲激函数[5]. 3.2 信号的能量谱 设有电流信号f(t)流经电阻R,在该电阻消耗的瞬时功率为f2(t)R.若f(t)为电压信号,则瞬时功率为f2(t)R.为了讨论方便,令R?1?.则f2(t)代表了电流或者是电压信号在1?电阻上消耗的瞬时功率.它在???t??的时间内消耗的能量为 E??f2(t)dt (3.6) ???式中E称作信号f(t)的归一化能量,简称为能量.当E??为有限值时,称f(t)为能量信号. 下面我们介绍Fourier变换的理论应用之一,即帕斯瓦定理[6]. 设能量信号f(t)的傅氏变换为F(?),即f(t)?F(?).则 E??????1??2f(t)dt?|F(?)|d???|F(?)|2df. (3.7) ???2???2??word文档 可编辑复制 这定理表明,信号的能量可以在时域计算也可以在频域计算. 其次,利用Fourier变换及其在通信工程理论中的应用,可描述能量在各个频率分量的分布情况,定义了能量频谱密度函数;对能量为E的能量信号f(t),若频率函数E(?)满足 1E?2??????E(?)d???????E(?)df (3.8) 则称E(?)为f(t)的能量频谱密度函数,简称能量谱.比较式(3.7)和式(3.8)可以看出: E(?)?|F(?)|2 即,能量信号的能量谱等于信号傅氏变换的模平方.能量谱反映了信号的能量在频率轴上的分布情况.信号的能量谱只与信号的幅度谱有关,与其相位谱无关.因此不同的信号可能有相同的能量谱,但对于一个指定的信号,其能量谱是唯一的. 为了求解一个复杂信号作用于线性系统后的响应,可以先把这个复杂信号分解成许多组成此信号的分量.用来表示信号分量的函数集常用的是正交函数集.在实际生活中使用最多的正交函数集是Fourier级数.根据具体情况可化为三角Fourier级数或指数Fourier级数. Fourier变换形式详尽而确切地表达了信号分解的结果,但往往不够直观,不能一目了然.为了能既方便又确切地表示一个信号中包含有哪些分量,各分量所占的比重怎样,根据其Fourier变换形式作出其频谱图.这也是在对信号中研究用到的数形结合思想所在.任一周期信号必定可用Fourier级数表示.一般的,因为周期信号可表示为Fourier级数 f(t)?n????Fen?jn?1t,则Fourier变换F(?)?2?n????F?(??n?),即周期信号的频 n1?谱函数是以2?F(n)为强度的冲激谱线组成. 例5 已知f(t)为周期信号,求F(?) f(t)4...02...141t图4 word文档 可编辑复制