内容发布更新时间 : 2025/5/18 8:28:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
=??k?0??2(k?1)b2kbf(t)e?stdt
令t???2kb,则
?而
2(k?1)b2kbf(t)e?stdt??2b0f(??2kb)e?s(??2kb)d?=e?2kb?2b0f(?)e?s?d?，
?所以
2b0f(t)e?stdt??te?stdt??(2b?t)e?stdt?0bb2b1(1?e?bs)2 2sL[f(t)]??ek?0???2kbs?2b0f(t)edt=??st2b0f(t)edt?(?e?2kbs)?stk?0??
由于当Re(s)?0时，
|e?2bs|?e?2?b?1，
所以
?(e?2kbs)?k?0??1，
1?e?2bs从而
1L[f(t)]?1?e?2bs ?2b0f(t)e?stdt=1?bs21(1?e)21?e?2bss
1(1?e?bs)21(1?e?bs) =2=2?bs?bss(1?e)(1?e)s(1?e?bs) 一般地，以T为周期的函数f(t)，即f(t?T)?f(t)(t?0)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有
L[f(t)]?11?e?sT?T0f(t)e?stdt (Re(s)?0)
成立.这就是求周期函数的Laplace变换公式.
Laplace变换可看成是Fourier变换在复变数域中的推广.与Fourier变换类似，对于Laplace变换式中每一对正、负?的指数分量决定一项变幅度的“正
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弦振荡”，其幅度也是一无穷小量，且按指数规律随时间变化.与Fourier变换中一样，这些振荡的频率是连续的，并且分布及于无穷.通常称s为复频率，并把
F(s)看成是信号的复频谱.
例8 因果信号f1(t)?e?tu(t)，求其Laplace变换. 解：FB1(s)???0e?(s??)t1?t?steedt??[1?lime?(???)te?j?t]
t???(s??)0s??? ?1,Re[s]?????s???
?????????
??
可见，对于因果信号，仅当Re[s]????时，其拉氏变换存在.收敛域如图所示.
图6 Laplace变换建立了信号在时域和复频域之间的对应关系，为今后更方便对系统进行分析，在此了解其一些基本性质
线性性质：设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s),a1，a2为任意常数，则
L?a1f1(t)?a2f2(t)??a1F2(s)?a2F2(s).
尺度变换：设 L?f(t)??F(s)，则当a?0时有L?f(at)??时间平移：设L?f(t)??F(s)，则 L?f(t?t0)??F(s)e?st0 频率平移：设L?f(t)??F(s)，则 L?f(t)es0t??F(s?s0) 时域微分：设L?f(t)??F(s)，则
1?s?F?? a?a?word文档 可编辑复制
?dnf(t)?nn?1?n?2?(n?1)??L??sF(s)?sf(0)?sf(0)?L?f(0). ?n?dt?如果函数为有始函数，上式可简化为
?df(t)? L???sF(s),dt???dnf(t)?nL???sF(s). ndt??时域积分：设L?f(t)??F(s)，则 L??t0f(?)d???F(s). s复频域微分与积分：设L?f(t)??F(s)，则
L?tf(t)???F(s)，s2??f(t)?L????sF(s)ds.
t??