内容发布更新时间 : 2024/5/23 22:01:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
???3???3
所以A∩B＝{x|1＜x＜3}∩?x?x＞2?＝?x?2＜x＜3?.故选D.
??????
6．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( C )
A．{1} C．{0,1,2,3} A∪B＝{0,1,2,3}．故选C.
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
B．{1,2} D．{－1,0,1,2,3}
解析：由(x＋1)(x－2)＜0?－1＜x＜2，又x∈Z，∴B＝{0,1}，∴
考点一 四种命题及其相互关系
(1)(2019·青岛调研)下列命题：
①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题；
③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题； ④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是( A ) A．③④ C．①②
B．①③ D．②④
解析：对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对
于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.
(2)给出以下五个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④若ab是正整数，则a，b都是正整数；
⑤若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减． 其中为真命题的是①③ .(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题为真，所以它的逆否命题也为真，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题；⑤构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故⑤为假命题．
1.判断命题真假的2种方法
(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．
2．谨防3类失误
(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论
同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．
(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写． (3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
??????1k
(1)已知集合P＝?x?x＝k＋2，k∈Z?，Q＝?x?x＝2，k∈Z?，记
??????
原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( C )
A．0 B．1 C．2 D．4
???1
解析：因为P＝?x?x＝k＋2，k∈Z?＝
??????2k＋1
?x?x＝，k∈Z2???
?????k
?，Q＝?x?x＝，k∈Z?，
2?????
所以PQ，
所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
(2)以下关于命题的说法正确的有②④ (填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价． 解析：①不正确．由log2a＞0，得a＞1， ∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数．
②正确．由命题的否命题定义知，该说法正确．
③不正确．原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数．
④正确．两者互为逆否命题，因此两命题等价．
考点二 充分必要条件的判定
角度1 用定义法判断充分、必要条件
π
若p：φ＝2＋kπ，k∈Z，q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)
是偶函数，则p是q的( A )
A．充要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
π??π
??＝cos(ωx＋kπ)ωx＋＋kπ解析：若φ＝2＋kπ，k∈Z，则f(x)＝sin2??
??cosωx，k为偶数，
＝? ??－cosωx，k为奇数，
所以函数f(x)是偶函数；
若f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数， π
则φ＝2＋kπ，k∈Z.
角度2 用集合法判断充分、必要条件
“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( B )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件