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2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
?如果事件A，B互斥，那么
?如果事件A，B相互独立，那么
P(AUB)?P(A)?P(B). P(AB)?P(A)P(B).
?圆柱的体积公式V?Sh.?圆锥的体积公式V?1Sh. 3其中S表示圆柱的底面面积， 其中S表示圆锥的底面面积， h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网
1,2,3,4?，B?yy?3x?2,x?A，则A?B? （1）已知集合A??1? （A）?
（B）?4?
??1,3? （C）?1,4? （D）??x?y?2≥ 0,??（2）设变量x，y满足约束条件?2x?3y?6≥ 0,则目标函数z?2x?5y的最小值为
??3x?2y?9≤ 0.? （A）?4
（B）6
（C）10
（D）17
（3）在?ABC中，若AB?13，BC?3，?C?120?， 则AC?
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （5）设?an?是首项为正数的等比数列，学科&网公比为q，“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n?1?a2n＜0”的
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线
则
xy?2?1，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐（b＞0）4b22（第4题图）
近线相交于A，B，C，D四点，学科&网四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
x23y2x24y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）?2?1（D）??1 （A）444344412（7）已知?ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE?2EF，则AF?BC的值为
（A）?51（B） 88 （C）
1 4 （D）
11 8?x2?(4a?3)x?3a,x＜0?（8）已知函数f(x)??（a＞0，学.科网且a?1）在R上单调递减，且关于x的
log(x?1)?1,x≥0??a方程f(x)?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
2
3123（C）[,]?{}
334（A）(0,]
（B）[,]
（D）[,)?{
233412333} 4
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a，b?R，i是虚数单位，若(1?i)(1?bi)?a，则
a的值为_____________. b（10）(x2?)8的展开式中x7的系数为_____________.（用数字作答） （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m），学科.网则该四棱锥的体积 为_____________m.
（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，
31xBE?2AE?2，BD?ED，则线段CE的长
为_____________.
（13）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间
(??,0)上单调递增.若实数a满足f(2则a的取值范围是_____________.
a?1)＞f(?2)，
?x?2pt2,（14）设抛物线?（t为参数，p＞0）的焦
?y?2pt点F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为
7B.设C(p,0)，AF与BC相交于点E.若CF?2AF，
2且?ACE的面积为32，则p的值为_____________.
三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?4tanxsin(??x)cos(x?)?3.
23?（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[?
（16）（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列 和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF?平面ABCD，点G为AB的中点，AB?BE?2.
（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF； （Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值； （Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH???,]上的单调性. 442 HF，
3求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知?an?是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为d.对任意的n?N?，bn是an和an?1的等比中项.
22?（Ⅰ）设cn?bn?1?bn，n?N，求证：数列?cn?是等差数列；
（Ⅱ）设a1?d，Tn?
?(?1)b，n?N，求证?k2k?2nk?111＜2. 2dk?1Tkn（19）（本小题满分14分）
x2y2113e?1(a＞3)的右焦点为F，右顶点为A.已知设椭圆2?， ??a3OFOAFA其中O为原点，e为椭圆的离心率. 学.科.网
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF?HF，且?MOA≤?MAO，求直线l的斜率的取值范
围.
（20）（本小题满分14分）
设函数f(x)?(x?1)?ax?b，x?R，其中a，b?R. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)?f(x0)，其中x1?x0，求证：x1?2x0?3； （Ⅲ）设a＞0，函数g(x)?f(x)，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．314
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
一、选择题：