内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:38:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
??(0.04)??1??(1.85)? ?0.5160?(1?097678) =0.4838;
(3)P(?2.80????1.21)??(?1.21)??(?2.80)?1??(1.21)??1??(2.80)?
??(2.80)??(1.21)?0.9974?0.8869?0.1105 3.16设随机变量ξ服从正态分布N(108，9)， （1）求P（101.1<ξ<117.6);
(2 ) 求常数α,使P(ξ<α)=0.90;
(3 ) 求常数α,使P(｜ξ-α｜>α)=0.01。 解: (1) P（101.1<ξ<117.6) = P(?2.3???1083?3.2)
??(3.2)??(?2.3)??(3.2)??1??(2.3)?
?0.999313?1?0.989276?0.988589;
a?108????108P???a??P????0.90,.所以33??(2)
a?108?1.28,即a?111.84;3?3?P???a?a??P???a?a??P???a??a????1082a?108?
?P???2a??P???0??P???33?????108??2a?108??P???36??1?????0.01,33????2a?108?2a?108?所以???2.33即a?57.5 ??0.99,查表得33??3.17某种电池的寿命?服从正态Na,?2分布,其中a?300(小时),??35(小时)(1)求电池寿命在250小时以上的概率;(2)求x,使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9??300解:(1)P???250??P(??1.43)35???300??P??1.43????1.43??0.9236;?35?x??300x??2?P?a?x???a?x??P??????3535??35?x??x??x???????????2????1?0.9,即?35??35??35?x?x?????0.95,所以?1.65,即x?57.753535????
3.18设??x?为N?0,1?分布的分布函数,证明当x?0有1e2x?x22?11?1???x??ex2x12x?x22?11???3??xx?12x证:1???x??1?1?e2x2??x??e?y22dy?y22?x?e?y22dy
?x2211??x2x?x1ey2?dy21x2?11?1e??3??2x2x?xx?2??x3?y2edy,所以y421?x211?x2e??1???x??ex2x2x?11???3??xx???，??的联合分布函数为F?x,y?,F?x,y?表示下列概率:3。19设二维随机变量?1?P?a???b,c???d?;?2?P?a???b,??y?;?3?P???a,??y?;?4?P???x,?????;?5?P?????,?????解：?1?P?a???b,c???d??F?b,d??F?b,c??F?a,d??F?a,c?;?2?P?a???b,??y??P???b,??y??P???a,??y??F?b?0,y??F?a,y?;?3?P???a,??y??P???a,??y??P???a,??y??F?a?0,y??F?a,y?;?4?P???x,??????F?x,????F??x?;?5?P?????,??????0
3．20 设二维随机变量（?,?）的联合函数为F（x,y），用它表示（?,?）落在区域D（如
下图所示）内的概率：
y
b b b b
543D
2
b
1O
a
1a a
23a4
解：
P[(?,?)?D]?F(a5,b5)?F(a5,b1)?F(a1,b5)?F(a2,b1)?[F(a2,b3)?F(a2,b1)?F(a1,b3)?F(a1,b1)]?[F(a4,b4)?F(a4,b2)?F(a3,b4)?F(a3,b2)?F(a5,b5)?F(a5,b1)?F(a4,b4)?F(a4,b2)?F(a3,b4)?F(a3,b2)?F(a2,b3)?F(a2,b1)F(a1,b3)?F(a1,b5).3。21 证明：二元函数 F(x,y)???1,x?y?0
0,x?y?0?对每个变元单调非降、左连续，且F（-∞，y）=F(x,- ∞)=0,F(- ∞,+ ∞)=0,但是F（x，y）
并不是一个分布函数。 证：设⊿x>0,
若x+y>0,由于x+⊿x+y>0,所以F（x,y）=F(x+⊿x,y)=1, 若x+y≤0,则F（x,y）=0.当x+⊿x+y≤0时，F（x+⊿x,y)=0，当x+⊿x+y>0时，F（x+⊿x,y)=1。 所以F（x，y）≤F（x+⊿x，y）。
可见，F（x，y）对x非降。同理，F（x，y）对y非降。 （2）x+y≤0时，
limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?0?F(x,y),?x?0?y?0x?y?0时，?x?0?y?0
limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?1?F(x,y),所以F(x,y)对x,y左连续。（3）F（-∞，y）=F(x,-∞)=0,F(+∞,+ ∞)=0.
(4)P(0≤??2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1,所以F（x,y）不是一个分布函数。
3．22设在⊿ABC中，AB=l、BC=k,∠B=90?,在⊿ABC 中任取一点M,M到AB的距离为?,∠MAB=?,求（?，?）的联合分布函数。 解:设0≤x≤k,arctg
xk?y?arctg.在?ABC中作点N，使?NAB?y,N与AB的距离为llx.作ND//AB,NE⊥AB且点D和点E分别在BC和AB上,显然EN= x.
C K
A
y
L
?
N M X ? E
D
B
P(??x,??y)?S?ANDBs?ABO1x(l?xctgy?l)x(2l?xctgy) 2??,1klkl2至于0?x?k,0?y?arctgx时，同理可得 lltgy,所以k?0,x?0或y?0??x(2l?xctgy),0?x?k,arctgx?x?arctgxklll??ltgyx ,0?x?k,0?y?arctg?kl??F(x,y)??2kx?x2k,0?x?k,y?arctg?2lk?k?ltgy,x?k,0?y?arctg?kl??1,x?k,y?arctgk?l?F(x,y)?3．23二维随机变量（?,?)的密度函数为
???1sin(x?y),0?x?，0?y??p(x,y)??222
??0,其它求（?,?)的分布函数。 解：
当0?x?时，22F(x,y)?P(??x,??y) xy11x???sin(t?s)dsdt??[cost?cos(t?y)]dt002201?[sinx?siny?sin(x?y)],所以2,0?y??(x?0)?(y?0)?0，?1???[sinx?siny?sin(x?y)],0?x?0?y?2,2?2????1F(x,y)=?(sinx?1?cosx),0?x?,y?
222????1(1?siny?cosy),x?,0?y??222??1,x??,y???22.???3．24 设二维随机变量（?,?)的联合密度为
?ke?3x?4y，x?0,y?0p(x,y)??
?0，其它 （1）求常数k； （2）求相应的分布函数； （3）求P(0???1,0???2)。
????3x?4y解：（1）
??ke00dxdy?k4?3xe?dx?0k12，
所以 K=12；
（2）x>0,y>0时，
xyF(x,y)???12e00?3t?4s?x?3tdtds?12???edt?0?y?4s??eds???0?
=(1?e?3x)(1?e?4y)，所以