内容发布更新时间 : 2025/4/1 12:49:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
微分几何主要习题解答
???解 ⑴r'?{asinht,acosht,a}，r''?{acosht,asinht,0}，r'''?a{sinht,cosht,0}，
????|r'?r''|2a2cosht1 r'?r''?a{?sinht,cosht,?1}，所以k??3??23|r'|2acosht(2acosht)???(r',r'',r''')a21 。 ????2?4?(r'?r'')2acosh2t2acosh2t???⑵ r'?3a{1?t2,2t,1?t2}，r''?6a{?t,1,t},r'''?6a{?1,0,1}，
????18a22(t2?1)|r'?r''|222 r'×r''=18a{t?1,?2t,t?1} ，k??3??223|r'|27a22(t?1)???(r',r'',r''')18?6a3?21 。 ????2?24?2222(r'?r'')18a?2(t?1)3a(t?1)
1 223a(t?1)???? 8．已知曲线r?{cos3t,sin3t,cos2t}，⑴求基本向量?,?,?；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
?解 ⑴ r'?{?3cos2tsint,3sin2tcost,?2sin2t}?sintcost{?3cost,3sint,?4}，
??r'ds?334?|r'(t)|?5sintcost,（设sintcost>0）， 则????{?cost,sint,?}， dt|r'|555?d?dt133????{sint,cost,0} ， ????{sint,cost,0}，
?dtds5sintcost55|?|???443??????{cost,?sint,?}，
555???????34{?sint,?cost,0} ，由于?与?方⑵ k?|?|? ，??25sintcost25sintcost??4向相反，所以 ??|?|?
25sintcost???????????⑶ 显然以上所得 ?,k?,?,?满足 ??k?,?????，而
???????????1{cost,?sint,0}??????? 也满足伏雷内公式 。
5sintcost6
微分几何主要习题解答
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
??证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在
?????任意点的切线方程是??r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)??r'(t)，?????可见r∥r'，所以r具有固定方向，故r＝r(t)是直线。
??方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在任意
?????点的切线方程是??r(t)??r'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t)??r'(t)，于
是r'＝?r''，从而r'×r''＝0，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。
???方法二：设定点为r0，曲线的方程为r＝r(s)，则曲线在任意点的切线方程是
??????????????r(s)???(s)，由条件切线都过定点r0，所以r0?r(s)???(s)，两端求导得:
??? ??(s)????(s)????, 即(???1)?(s)?????0 ，而?(s),?(s)无关，所以???1?0，?????可知??0,??(s)?0，因此曲线是直线。
10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
??证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝r(t)，则曲线在
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