内容发布更新时间 : 2025/5/13 16:48:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
(1??z)?(z??)(??)1?|?|2i? w?(z)?e??e?22(1???z)(1??z)i?1?|?|21i??e?从而w?(?)?e?
(1?|?|2)21?|?|2i?所以argw?(?)?argei??arg?(1?|?|2)??
z??在单位圆内?处的旋转角argw?(?). 1??z11. 求将上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1单位圆的分式线性变换w=f(z)，并满足条件
1(1) f(i)=0, argf?(i)=0; (2) f(1)=1, f(i)= . 5故?表示w?ei??解：将上半平面Im(z)>0, 映为单位圆|w|<1的一般分式线性映射为w=k?z??(Im(?)>0). z??(1) 由f(i)=0得?=i，又由argf?(i)?0,即f?(z)?e?i?2i,
(z?i)2)1i(??ππf?(i)?e2?0，得??，所以
22w?i?z?i. z?i(2) 由f(1)=1,得k=
1??i??1；由f(i)= ,得k=联立解得
51??5(i??)w?3z+(5?2i).
(5?2i)z?312. 求将|z|<1映射成|w|<1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件： (1) f(1)=0, f(-1)=1. 2 (2) f(1)=0, argf?(12)?2π, 2(3) f(a)=a, argf?(a)??.
解：将单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1的分式线性映射，为 w?ei?z?? , |?|<1.
1???z1.又由f(-1)=1，知 2(1) 由f(1)=0，知??2i??1?1i?i?2e??e(?1)?1?e??1???π.
1?12z?12z?12故w??1?. ?z1?2z?2 46 / 66
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
(2) 由f(1)=0，知??25?4z1i?，又w??e? 22(2?z)i?f?(12)?e4π???argf?(1)?， 232z?12z?12于是 w?e(. )?i?z1?22?ziπ2(3) 先求?=?(z)，使z=a???0，arg??(a)??,且|z|<1映成|?|<1. 则可知 ?=?(z)=e?i?z?a
1?a?z再求w=g(?)，使?=0?w=a, argg?(0)?0,且|?|<1映成|w|<1. 先求其反函数?=?(w),它使|w|<1映为|?|<1,w=a映为?=0，且
arg??(w)?arg(1/g?(0))?0,则
?=?(w)=w?a.
1?a?w因此，所求w由等式给出.
w?az?a=ei??.
1?a?w1?a?z13. 求将顶点在0，1，i的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射.
解：直接用交比不变性公式即可求得
w?01?i?0z?0i?0∶=∶ w?21?i?2z?2i?1w1?i?2zi?1.=. w?21?iz?1iw??4z.
(i?1)z?(1?i)14. 求出将圆环域2<|z|<5映射为圆环域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有
2?5?2?5?10?410?4∶=∶ 2?5?2?5?10?410?4故w=f(z)应为
z?5?2?5w?410?4∶=∶ z?5?2?5w?410?5w?4z?520?w