内容发布更新时间 : 2024/12/27 15:04:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
(1??z)?(z??)(??)1?|?|2i? w?(z)?e??e?22(1???z)(1??z)i?1?|?|21i??e?从而w?(?)?e?
(1?|?|2)21?|?|2i?所以argw?(?)?argei??arg?(1?|?|2)??
z??在单位圆内?处的旋转角argw?(?). 1??z11. 求将上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1单位圆的分式线性变换w=f(z)，并满足条件
1(1) f(i)=0, argf?(i)=0; (2) f(1)=1, f(i)= . 5故?表示w?ei??解：将上半平面Im(z)>0, 映为单位圆|w|<1的一般分式线性映射为w=k?z??(Im(?)>0). z??(1) 由f(i)=0得?=i，又由argf?(i)?0,即f?(z)?e?i?2i,
(z?i)2)1i(??ππf?(i)?e2?0，得??，所以
22w?i?z?i. z?i(2) 由f(1)=1,得k=
1??i??1；由f(i)= ,得k=联立解得
51??5(i??)w?3z+(5?2i).
(5?2i)z?312. 求将|z|<1映射成|w|<1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件： (1) f(1)=0, f(-1)=1. 2 (2) f(1)=0, argf?(12)?2π, 2(3) f(a)=a, argf?(a)??.
解：将单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1的分式线性映射，为 w?ei?z?? , |?|<1.
1???z1.又由f(-1)=1，知 2(1) 由f(1)=0，知??2i??1?1i?i?2e??e(?1)?1?e??1???π.
1?12z?12z?12故w??1?. ?z1?2z?2 46 / 66
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
(2) 由f(1)=0，知??25?4z1i?，又w??e? 22(2?z)i?f?(12)?e4π???argf?(1)?， 232z?12z?12于是 w?e(. )?i?z1?22?ziπ2(3) 先求?=?(z)，使z=a???0，arg??(a)??,且|z|<1映成|?|<1. 则可知 ?=?(z)=e?i?z?a
1?a?z再求w=g(?)，使?=0?w=a, argg?(0)?0,且|?|<1映成|w|<1. 先求其反函数?=?(w),它使|w|<1映为|?|<1,w=a映为?=0，且
arg??(w)?arg(1/g?(0))?0,则
?=?(w)=w?a.
1?a?w因此，所求w由等式给出.
w?az?a=ei??.
1?a?w1?a?z13. 求将顶点在0，1，i的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射.
解：直接用交比不变性公式即可求得
w?01?i?0z?0i?0∶=∶ w?21?i?2z?2i?1w1?i?2zi?1.=. w?21?iz?1iw??4z.
(i?1)z?(1?i)14. 求出将圆环域2<|z|<5映射为圆环域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有
2?5?2?5?10?410?4∶=∶ 2?5?2?5?10?410?4故w=f(z)应为
z?5?2?5w?410?4∶=∶ z?5?2?5w?410?5w?4z?520?w??. 即 =?w?4z?5z讨论求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)将|z|=2映为|w|=10，且将z=5映为w=-4.所以|z|>2映为|w|<10.又w=f(z)将|z|=5映为|w|=4，将z=2映为w=-10，所以将|z|<5映为|w|>4，由此确认，此函数合乎要求.
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
1?1?15.映射w?z2将z平面上的曲线?x???y2?映射到w平面上的什么曲线？
2?4?解：略.
z16. 映射w=e将下列区域映为什么图形. (1) 直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2;
(2) 带形区域??Im(z)??,0?????2π; (3) 半带形区域
2Re(z)?0,0?Im(z)??,0???2π.
解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1,
z=C1+iy?w=eC1?eiy, Im(z)=C2,则
z=x+iC2?w=ex?eiC2
故w=ez将直线Re(z)映成圆周??e1；直线Im(z)=C2映为射线??C2. （2） 令z=x+iy，??y??,则w=ez?ex?iy?ex?eiy,??y??
故w=e将带形区域??Im(z)??映为??arg(w)??的张角为???的角形区域. （3） 令z=x+iy，x>0，0 zCw=ez?ex?eiy(x?0,0?y??)?ex?1,0?argw?? z故w=e将半带形区域Re(z)>0,0 |w|>1, 0?argw??(0???2π). 17. 求将单位圆的外部|z|>1保形映射为全平面除去线段-1 48 / 66 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社） 解：用w1?ez将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)>0；再用w2?lnw1?1将半平面映为有割痕w1?1(-?,-1]的单位圆外域；又用w3?iw2将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用w4?lnw3将区域映为半带形0 ez?1w?lnz. e?119. 求将Im(z)<1去掉单位圆|z|<1保形映射为上半平面Im(w)>0的映射. 解：略. 20. 映射w?cosz将半带形区域0 因为 w?cosz?可以分解为 1iz(e?e?iz) 2w1=iz ，w2?ew1，w3?(w2?121) w2由于w?cosz在所给区域单叶解析，所以 （1） w1=iz将半带域旋转 π，映为0 1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有 f(t)??b(?)?sin?td? 0??2??其中b(?)??f?t??sin?tdt π0当f(t)为偶函数时，则有f(t)?其中a(?)?证明： ?02???0a(w)?cos?td? ???f(t)?cos?tdt 1??G(?)ei?td?其中G(?)为f(t)的傅里叶变换 因为f(t)??2π??G(?)????????f(t)e?i?tdt??????f(t)?(cos?t?isin?t)dt ??????f(t)?cos?tdt?i???f(t)?sin?tdt 当f(t)为奇函数时，f(t)?cos?t为奇函数，从而 ?????f(t)?cos?tdt?0 f(t)?sin?t为偶函数，从而 49 / 66 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社） ?????f(t)?sin?tdt?2?f(t)?sin?tdt. 0??故G(?)??2i???0f(t)?sin?tdt. 有 G(??)??G(?)为奇数。 f(t)?12??????G(?)?ei?td??12??????G(?)?(cos?t?isin?t)d? = 1??i??G(?)?isin?td??G(?)?sin?td? 2π???π?0所以，当f(t)为奇函数时，有 f(t)????0b(?)?sin?td?.其中b(?)=??2??f(t)?sin?tdt.同理，当f(t)为偶函数时，有 ?0πf(t)??a(?)?cos?td?.其中 02??a(?)??f(t)?cos?tdt π02??t,2.在上一题中，设f(t)????0,t?1t?1.计算a(?)的值. 解: 2??2122??f(t)?cos?tdt?t?cos?tdt?0?cos?tdtπ?0π?0π?121211??t2?cos?tdt???t2d(sin?t)π0π?0 12122??t?sin?t?sin?t?2tdt0π??0π?a(?)?2sin?41??2?t?d(cos?t)π???012sin?41??2?t?cos?t0??cos?tdt??0??π????2sin?4cos?4sin????23????????sint,t?6π3.计算函数f(t)??的傅里叶变换. ???0,t?6π解: F?f?(?)????6π?6π????f(t)?e?i?tdt??6π?6πsint?e?i?tdt sint?(cos?t?isin?t)dt6π0??2i?sint?sin?tdt?isin6π?π(1??2)?t4.求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)?e解： F?f?(?)??0?????? f(t)e?i?tdt??e?|t|?e?i?tdt??e?(|t|?i?t)dt??????0??????et(1?i?)dt??e?t(1?i?)dt?21??2 50 / 66