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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
f(z)?(4) 解：因为
f(z)?x?yx?y?ix2?y2x2?y2.
x?y?i(x?y)x?iy?i(x?iy)(x?iy)(1?i)z(1?i)1?i????2x2?y2x2?y2x2?y2zz.所以f(z)除z=0外处处可导，且
f?(z)??(1?i)z2.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
22f(z)?xy?ixy; (1)
22u(x,y)?xy,v(x,y)?xy在全平面上可微. 解：
?y?y2,?x?u?2xy,?y?v?2xy,?x?v?x2?y
所以要使得
?u?v?u?v????x?y， ?y?x,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
22(2) f(z)?x?iy.
22u(x,y)?x,v(x,y)?y解：在全平面上可微.
?u?2x,?x?u?0,?y?v?0,?x?v?2y?y
?u?v?u?v????y. 只有当z=0时,即(0,0)处有?x?y,?y所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
33f(z)?2x?3iy(3) ;
33解：u(x,y)?2x,v(x,y)?3y在全平面上可微.
?u?6x2,?x?u?0,?y?v?9y2,?x?v?0?y
所以只有当2x??3y时，才满足C-R方程. 从而f(z)在2x?3y?0处可导，在全平面不解析.
2(4) f(z)?z?z.
解：设z?x?iy，则
f(z)?(x?iy)?(x?iy)2?x3?xy2?i(y3?x2y) u(x,y)?x3?xy2,v(x,y)?y3?x2y
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
?u?3x2?y2,?x?u?2xy,?y?v?2xy,?x?v?3y2?x2?y
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. ?(1) f(z)?0;
?u?u?v?v??0??0?(z)?0?x?yf?x?y证明：因为，所以,.
所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2) f(z)解析.
证明：设f(z)?u?iv在D内解析,则 ?u?(?v)?u?v?????x?y?x?y?u??(?v)?v????y?x?y?u?v??,?x?y
?u?v??y?x
?u?v???y?x
?u?u?,?x?y而f(z)为解析函数，所以
?v?v??,?x?x?v?v??,?y?y所以即
从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 因为f(z)解析，C-R条件成立。故从而f(z)为常数. (4) Imf(z)=常数.
?u?u?v?v????0?x?y?x?y
?u?u??0?x?y
?u?u??0?x?y即u=C2
?v?v??0?x?y证明：与（3）类似，由v=C1得
因为f(z)解析，由C-R方程得
?u?u??0?x?y,即u=C2
所以f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
2f(z)?f(z)?C??若C0，则f(z) 0,但，即u2+v2=