内容发布更新时间 : 2024/12/25 0:46:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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19．(本小题满分14分)△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B
2为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
19．分析：本题利用正余弦定理的边角关系找到顶点A的ρ、θ之间的关系，从而求得其轨迹方程．
解析：如下图，令A(ρ，θ)，
在△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝由正弦定理，得
θ2
，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是
ρ?3θ???π－sin 2??
＝10sin
2
θ，
化简，得点A轨迹的极坐标方程为
ρ＝10＋20cos θ.
20．(本小题满分14分)已知定点A(a，0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝
π
.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极3
轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．
20．解析：设Q、P的坐标分别是(ρ，θ)、(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.
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在△POA中，由正弦定理得，
?2π?asin θa
??ρ1＝·sin. －θ，|PA|＝
ππ?3?sinsin 33
又|OQ|＝|OP|＋|PA|，
?π?
∴ρ＝2asin?θ＋?.
6??
21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．
21．分析：需要找出点Q的极角和极径的关系，在这里我们可以通过三角形的面积建立关系．
解析：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，
θ)，P(1，2θ)．
因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP，
111
所以·3ρ·sin θ＋ρ·sin θ＝×3×1×sin 2θ.
2223
整理得ρ＝cos θ.
2
22．(本小题满分14分)已知半圆直径|AB|＝2r(r＞0)，半圆外一条
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r????2a＜直线l与AB所在直线垂直相交与点T，并且|AT|＝2a2?.若半圆上?相异两点M、N到l的距离|MP|，|NQ|满足|MP|∶|MA|＝|NQ|∶|NA|＝1，通过建立极坐标系，求证|MA|＋|NA|＝|AB|.
22．证明：证法一 以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系， 则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcos θ， 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)， 则ρ1＝2rcos θ1，ρ2＝2rcos θ2， 又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2rcos2θ1， |NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2rcos2θ2， ∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcos θ1， ∴|NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcos θ2，
∴cos θ1，cos θ2是关于cos θ的方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|MA|＋|NA|＝2rcos
θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|.
证法二 以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系， 则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcos θ， 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，
2a
又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝上，
1－cos θ∴2rcos θ＝
2a
，rcos2θ－rcos θ＋a＝0，
1－cos θ∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的两个根， 由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，
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∴|MA|＋|NA|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|.
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