内容发布更新时间 : 2024/6/3 17:51:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
19．（9分）（2014?遂宁）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售．打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元．而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？ 考点： 二元一次方程组的应用．菁优 专题： 应用题． 分析： 设甲商品单价为x，乙商品单价为y，根据购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元，列出方程组，继而可计算购买10件甲商品和10件乙商品需要的花费，也可得出比不打折前少花多少钱． 解答： 解：设甲商品单价为x，乙商品单价为y， 由题意得：解得：， ， 则购买10件甲商品和10件乙商品需要900元， ∵打折后实际花费735， ∴这比不打折前少花165元． 答：这比不打折前少花165元． 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 20．（9分）（2014?遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证： （1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优 专题： 证明题． 分析： （1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DOE=∠CFE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 解答： 证明：（1）∵CF∥BD， ∴∠DOE=∠CFE， ∵E是CD中点， ∴CE=DE， 在△ODE和△FCE中， ， ∴△ODE≌△FCE（ASA）； （2）∵△ODE≌△FCE， ∴OD=FC， ∵CF∥BD， ∴四边形ODFC是平行四边形， 在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形ODFC是菱形． 点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
21．（9分）（2014?遂宁）同时抛掷两枚材质均匀的正方体骰子，
（1）通过画树状图或列表，列举出所有向上点数之和的等可能结果； （2）求向上点数之和为8的概率P1； （3）求向上点数之和不超过5的概率P2． 考点： 列表法与树状图法．菁优 分析： （1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得向上点数之和为8的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）由（1）可求得向上点数之和不超过5的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答： 解：（1）列表得： 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 则共有36种等可能的结果； （2）∵向上点数之和为8的有5种情况， ∴P1=； （3）∵向上点数之和不超过5的有10种情况， ∴P2==． 点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 22．（10分）（2014?遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
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sinA1+sinB1= 1 ；sinA2+sinB2= 1 ；sinA3+sinB3= 1 ．
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（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sinA+sinB= 1 ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=
，求sinB．
考点： 勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．菁优 22分析： （1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sinA+sinB=1 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sinA+sin=再根据勾股定理得到a+b=c，从而证明sinA+sinB=1； （3）利用关系式sinA+sinB=1，结合已知条件sinA=解答： 解：（1）1． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． 222222222B，，进行求解． ∵sinA=，sinB=， ∴sinA+sinB=∵∠ADB=90°， 222∴BD+AD=AB， 22∴sinA+cosA=1． （3）∵sinA=∴sinB=，sinA+sinB=1， =． 2222， 点评： 本题考查了在直角三角形中互为余角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 23．（10分）（2014?遂宁）已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优 分析： （1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，求出△ACO和△BOC的面积相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 解答： 解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=1×4，1+b═4， 解得k=4，b=3， 反比例函数的解析式是y=， 一次函数解析式是y=x+3； （2）如图， 当x=﹣4时，y=﹣1，B（﹣4，﹣1）， 当y=0时，x+3=0， x=﹣3，C（﹣3，0） S△AOB=S△AOC+S△BOC==；
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4）， ∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值． 点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想． 六、（本大题共2个小题，第24题10分，第25题12分，共22分） 24．（10分）（2014?遂宁）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
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（2）求证：PD=PB?PA．
（3）若PD=4，tan∠CDB=，求直径AB的长．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．菁优 分析： （1）连接OD、OC，证△PDO≌≌△PCO，求出∠PDO=90°，根据切线的判定推出即可； （2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案； （3）根据相似得出比例式，代入即可求出答案． 解答： （1）证明：+连接OD，OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO=90°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴弧BD=弧BC， ∴∠DOP=∠COP， 在△DOP和△COP中， ， ∴△DOP≌△COP（SAS）， ∴∠ODP=∠PCO=90°， ∵D在⊙O上， ∴PD是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠PDO=90°， ∴∠ADO=∠PDB=90°﹣∠BDO， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠A=∠∠PDB， ∵∠P=∠P， ∴△PDB∽△PAD， ∴2， ∴PD=PA?PB； （3）解：∵DC⊥AB， ∴∠ADB=∠DMB=90°， ∴∠A+∠DBM=90°，∠BDC+∠DBM=90°， ∴∠A=∠BDC， ∵tan∠BDC=， ∴tanA==， ∵△PDB∽△PAD， ∴=== ∵PD=4， ∴PB=2，PA=8， ∴AB=8﹣2=6． 点评： 本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度． 2
25．（12分）（2014?遂宁）已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
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（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM． （ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．菁优 分析： （1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出﹣
=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式； （2）由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论； （3）①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论； ②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论． 解答： 解：（1）由题意，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y= （2）如图①，设P（a，a﹣1），就有OE=a，PE=a﹣1， ∵PQ⊥l， ∴EQ=2， ∴QP=a+1． 222