内容发布更新时间 : 2024/12/23 5:15:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
?服从标准正态分布，所以E??0,D??1………………………………………（2分）
E[Y(t)]?E[X(t)]?E??0 ………………………………………（4分）
又因为t?0,X(t)都与?相互独立
Cov[Y(s),Y(t)]?E[Y(s)Y(t)]?E{[X(s)??][X(t)??]} ………………（6分）
?E[X(s)X(t)]?E[X(s)?]?E[X(t)?]?E?2
?Cov[X(s),X(t)]?1 ………………………………………（8分）
2 ??X(min{s,t})?1 ………………………………………（10分）
7．解：利用数学期望的性质可得，
（2分） CZ(s,t)?E??(X?Ys)?(?X??Ys)??(X?Yt)?(?X??Yt)??…………… ?E??(X??X)?(Ys??Ys)??(X??X)?(Yt??Yt)?? ?E(X??X)?E?(X??X)t(Y??Y)?
2 ?E?(X??X)s(Y??Y)??Est(Y??Y)2…………（8分） ?DX?(s?t)Cov(X,Y)?stDY
??1?(s?t)??st?2 …………………………………（10分） 8．解：
RY(t1,t2)?E{[X(t1?a)?X(t1)][X(t2?a)?X(t2)]} ……………（2分）
22 ?E[X(t1?a)X(t2?a)]?E[X(t1?a)X(t2)]?E[X(t1)X(t2?a)]?E[X(t1)X(t2)]
?RX(t1?a,t2?a)?RX(t1?a,t2)?RX(t1,t2?a)?RX(t1,t2)…………（10分）
9． 解：根据题意知顾客的到达率为
0?t?3?5?5t? ?(t)??203?t?5 …………………………（3分）
?20?2(t?5)5?t?9?mX(1.5)?mX(0.5)??(5?5t)dt?10 …………………………（6分）
0.51.5P{X(1.5)?X(0.5)?0}?e?10 …………………………（10分）
10．解：设{X(t),t?0}表示到达商店的顾客数，?i表示第i个顾客购物与否，即
?1第i个顾客购物 ?i??0第i个顾客不购物?则由题意知?i独立同分布．且与X(t)独立
P(?i?1)?p,P(?i?0)?1?p
X(t)因此，Y(t)?由题意求
??i?1i是复合泊松过程，表示（0，t）内购买商品的顾客数，………（5分）
?X(t)???X(t)?P{Y(t)?0}?P???i?0???P???i?0,X(t)?k?
?i?1?k?0?i?1??k? ??P?X(t)?k?P???i?0? ……………………（10分）
k?0?i?1??(?t)k??tk(?qt)k??t ?? e?q?e?k!k!k?0k?0?? ?e??te?qt?e??pt …………………………（15分）
11．证明： P{Y(t??)?Y(t)?n}
?P{X1(t??)?X2(t??)?X1(t)?X2(t)?n} ?P{X1(t??)?X1(t)?X2(t??)?X2(t)?n} ??P{Xi?0nn1 (t??)?X1(t)?i,X2(t??)?X2(t)?n?i} …………（5分） (t??)?X1(t)?i}?P{X2(t??)?X2(t)?n?i}………（10分）
??P{Xi?01(?1?)i??1?(?2?)n?i??2? ?? e?ei!(n?i)!i?0n ?e?(?1??2)?[(?1??2)?]n? n?0,1,2?
n!故Y(t)是具有参数?1??2的泊松过程 ……………………………（15分） 12. 解：设N(t)为在时间[0，t]内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，Yi表示每户的
N(t)人数，则在[0，t]内的移民人数X(t)??Yi?1i是一个复合泊松过程。
……………………………………（2分）
Yi是独立同分布的随机变量，其分布为
Yi P EYi?1 2 3 4 1 6156EYi2?1 31 31 643 …………………………（4分） 6mX(5)?EN(5)?EY1?2?5?15?25 …………………………（7分） 6?X(5)?DN(5)?EY12?2?5?43215? …………………………（10分） 6313．解：以A记时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为Hk，则P(Hk)?Pt(k)，第二时间间隔内P(A|Hk)?Pt(n?k)成立，于是 P2t(n)??P(k)P(n?k)??k!ettk?0k?0nnn?k???n?k(n?k)! e??……………………（4分）
e?2? ?n!e?2?nnk ???Cn …………………………（8分）?n!k?0k!(n?k)!k?0?n?n!(2?)n?2?e ………………………………………（10分） ? n!14．解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为?的泊松过程，则顾客到达的时间间隔{Xn,n?1}服从参数为?的指数分布，
?30e?30xfX(x)???0x?0 ……………………………………（4分） x?0??2 P{X?}??230e?30xdx?e?1 ……………………………（10分）
606015．解：设X(t)是t年进入中国上空的流星数，X(t)为参数??10000的齐次泊松过程
1??1,第i个流星落于地面?0??设Yi??i?1,2,? 即Yi~?? 0.99990.00010,第i个流星不落于地面???X(t)由题意知，W??Y是一个复合泊松过程 …………………………………（5分）
ii?1 EW?EX(t)?EY1?11?10000?0.0001? 12122 VarW?VarX(t)?EY1?11?10000?12?0.0001? 1212W是参数为?p?1的泊松过程 ……………………………………………（10分）
P{W?2}?1?P{W?1}?1?P{W?0}?P{W?1}
11()0?1()1?111??11212 ?1?（15分） e12?e12?1?e12?e12 ………………
0!1!1216．解： 以N(t)表示在[0,t)内通过的车辆数，设{N(t),t?0}是泊松过程，则
(?t)k??te,k?0,1,2,? ……………………………… P{N(t)?k}?（2分） k! P{N(1)?0}?e??（5分） ?0.2???ln5 ………………………………
P{N(2)?1}?1?P{N(2)?1}?1?P{N(2)?0}?P{N(2)?1} ?1?e?2??2?e?2??242?ln5 ………………………（10分） 252517．解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为?的泊松过程，则顾客到达的时间间隔{Xn,n?1}服从参数为?的指数分布，
?30e?30xfX(x)???04x?0 ……………………………………（4分） x?04}??6030e?30xdx?1?e?2 ………………………… P{X?（10分）
06018．解：设Z(t)为在[0，t]内来到的顾客数，Z(t)为参数??6的齐次泊松过程，
Yi是每个顾客订阅年限的概率分布，且Yi独立同分布，
Z(t)由题意知，X(t)??Yi?1i为[0，t]内得到的总手续费，是一个复合泊松过程
…………………………………（5分）
EY1?1?11110?2??3?? 2366EY12?12?11120?22??32?? …………………………………（8分） 236610?10t 62EX(t)?EZ(t)?EY1?6t? VarX(t)?VarZ(t)?EY1?6t?20?20t ……………………（15分） 619．解：N (t)表示在[0，t)内到达的顾客数，显然{ N (t), t≥0}是泊松过程，??2，则当t=2时，N（5）服从泊松过程
(2?5)k?2?5e,k?0,1,2,? ………………………（5分） P{N(5)?k}? k!故E[N(5)]?10;D[N(5)]?10
P{N(5)?1}?1?P{N(5)?0}?1?e?10 ………………………（10分） 20．解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数
?1/2.50?t?5 ?(t)??1/25?t?10?则 ?(10)??100?(t)dt??1011dt??dt?4.5 ………………………（6分） 02.5525 P{N(10)?N(0)?1}?e?4.54.5!9?2?e ………………………（10分） 1!2921．证明：设X（t）的两个相邻事件的时间间隔为?，依独立性有
(?Y?)k??Y?e P{[Y(t??)?Y(t)]?k}? ………………………（2分） k! 而X（t）的不同到达时刻的概率密度函数为
??Xe??X? fX(?)???0??0others ………………………（4分）
由于X（t）是泊松过程，故Y（t）恰好有k个事件发生的概率为