内容发布更新时间 : 2024/12/26 13:13:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
4.1 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为?S，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。
解：电位仅是x的函数，所以
d2?1d2?2?0 a?x?d ?0 0?x?a 22dxdx??0 d ?1 a ?S 可解得
?1(x)?C1x?D1 a?x?d
?2 ??0
O
?2(x)?C2x?D2 0?x?a 题 4.1 图
?1和?2满足边界条件 ?1(d)?0 ?2(0)?0 ?1(a)??2(a) (???2??1?)|x?a?S ?x?x?0?C1a?D1?0a?S??D?0a?SC??12??D1??0d???0 于是有?C1a?D2?C2a?D2 由此得到?
??C?(d?a)?SD?0?S22?C2?C1???0d???0?所以 ?1?a?S(d?a)?S(d?x) (a?x?d) ?2?x (0?x?a) ?0d?0d4.2 设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度
A?? (a?r?b),其中a和b分别为内、外导体的半径，A为常数。设内导体
r维持在电位V0，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域a?r?b内的电位分布。
解：由于轴对称性，在圆柱坐标系中，电位?仅为r的函数，所以
1dd?A (a?r?b) (r)??rdrdr?0r由此可解出
?(r)??A?0r?C1lnr?C2 (a?r?b)
电位满足边界条件
?(b)?0 ， ?(a)?V0
?A???b?C1lnb?C2?0?于是有 ?0
??Aa?Clna?C?V120???0由此解出 C1???0V0?A(a?b)b?0ln()a
C2??Ablna?(?0V0?Aa)lnb
b?0ln()aA于是得到 ?(r)???0r?rb[Abln()?(Aa??0V0)ln()]
ar?0ln(ba)14.3 通过解电位的泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域0?r?b，有均匀的体电荷密度????0；在电子云外部区域r?b中，??0。
解：由于电荷分布的球对称性，在球坐标中，电位仅是r的函数，其满足的微分方程为
?1??r2 ??1??r2?d2d?1(r)?0drdr?0d2d?2(r)?0drdr(0?r?b)
(b?r)?02C1?(0?r?b)?(r)?r??D11?6?0r?由此解出 ?
??(r)?C2?D(b?r)22?r??1(r)和?2(r)满足的边界条件为
r?0时，?1为有限值；r??时，?2?0
?1(b)??2(b)；
??1??|r?b?2|r?b ?r?r于是有 C1?0,D2?0
?02Cb?D1?2 6?0b 由此得到
?0C2 b??23?0b?0b2 C1?0,D1??
2?0?0b3 C2??,D2?0
3?0所以
?1(r)??02(r?3b2) (0?b?b) 6?0?0b3 ?2(r)?? (b?r)
3?0r E1(r)??ar?rd?1??ar0 (0?r?b) dr3?0?0b3d?2 E2(r)??ar (b?r) ??ar2dr3?0r4.4 一电荷量为q质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设
m?2?10?3kg,h?0.02m)。
解：小带电体可视为一点电荷q，它所受静电力，来自导体平板的感应电荷，也就是镜像电荷q'(平面上方h处，q'??q)对它的作用力。
q2 fe?? 吸力，向上。 24??0(2h)令fe与重力mg大小相等，有
q2 ?mg
4??0(2h)2解得 q?5.903?10?8C
4.5 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？
解：当点电荷q移动到距离导体平面为x的点P处时，其像电荷q'??q，与导体
平面相距为为x'??x，如图所示。像电荷
q'在点P处产生的电场为
q'q E'(r)?ex?q
4??0(2x)2?x O x x 所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所
做的功为 题 4.5图
?qq2 We??qE'(x)?dr?? dx??216??0ddd4??0(2x)外力所做的功为
??q2 Wo??We?
16??0d4.6 两点电荷Q和?Q位于一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别距球心
D和?D。
2a3Q(1) 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为 2D(2) 令D和Q分别趋于无穷，同时保持解：(1)如图所示，设q1为Q的镜像：
aQq1??
DQ不变，计算球外的电场 2DDQ a2d1?
Dd1 q1 q2为?Q的镜像：
q2??q(?Q)??q1 Da d2 q2 a2d2????d1
D?D ?Q 可见二像电荷等值异号，与球心等距离，构成位于球心的
偶极子，其电偶极矩 题 4.6 图
2a3Qp?q2(2d1)?
D2(2)球外电场是由四个点电荷产生的合成场。当D??时，Q 和?Q在导体球及邻域的场变化缓慢，是均匀场，可用球心处的场表示
E?2QQ1Q (不变) ??E0D24??0D22??0D21其电位表达式
?0??E0z??E0rcos? 电偶极矩(q1、q2)在球外的电位为
pcos?a3Qcos?3cos? ?p? ??Ea04??0r22??0D2r2r2故球外电位为
a3 ???0??p?(?E0r?E02)cos?
r4.7 半径为a的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别d1和d2，设墙和地面都视为理想导体，且d1??a，d2??a。试求此导线对地的单位长电容。
解：设导线单位长带电荷为?l，如图所示。 墙和地面的感应电荷可由三个镜像电荷代 替，因d1??a，d2??a，则像电荷的大 小和位置为
y ?l1 d1 ?l ?d2O d2 ?'l1???l 位于(?d2，d1) ?'l2??l 位于(?d2，?d1)
x
?d1 ?'l3???l 位于(d2，?d1)
?l2 ?l3 导线的线电荷?l(在其轴线上)以及镜像 题 4.7 图 线电荷?'l1、?'l2、?'l3在导线表面上产生的电位为
?l?1111??ln?ln? ???0??1??2??3??ln?ln222??0?a2d12d4d1?4d22????2dd??l12? ?ln?222??0?ad1?d2???