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2017年高考数学试题分类汇编：不等式
1（2017北京文）已知x?0，y?0，且x+y=1，则x?y的取值范围是__________．
22【考点】3W：二次函数的性质．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，
则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f（）=最大值为：f（1）=2﹣2+1=1． 则x2+y2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]．
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
2（2017浙江）已知a?R，函数f(x)?|x?取值范围是___________．
4?a|?a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的x=．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣
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5≤x+≤5，进而计算可得结论．
【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]．
【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；
（2）若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）
≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、
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﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）max=，
∴m的取值范围为（﹣∞，]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
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4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围． 解：（1）当x??1时
f?x????x?1???x?2???3?1无解
f(x)?x?1?(x?2)当?1?x?2时
?2x?12x?1?1x?1∴1?x?2
f(x)?x?1?(x?2)?3当x?2时Q3?1综上所述f(x)?1的解集为 [1,??).
?x?222（2）原式等价于存在x?R，使f(x)?x?x?m 成立，即 [f(x)?x?x]max?m
设g(x)?f(x)?x?x
2??x2?x?3,x??1?22由（1）知 g(x)???x?3x?1,?1?x?2 当x??1时，g(x)??x?x?3
??x2?x?3,x?2?
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5（2017新课标Ⅱ文）[选修4?5：不等式选讲]（10分） 已知a?0,b?0,a?b?2.证明： （1）(a?b)(a?b)?4； （2）a?b?2. 【解析】（1）
5533?a?b??a5?b5?a6?ab5?a5b?b6?a?b??33?2?2a3b3?aba4?b42??
?4?aba?b?4（2）因为
?2?2?a?b??a3?3a2b?3ab2?b33?2?3ab?a+b??2+33?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43
所以?a+b??8，因此a+b≤2.
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