内容发布更新时间 : 2024/10/19 3:25:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键．
25．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE． （2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证； （2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，
222
CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD=BD+CD； （3）分两种情况分别讨论即可求得．
解答： （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°． ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）2AD=BD+CD，
理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE． 与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD， ∵∠EAD=90°AE=AD， ∴ED=AD，
222
在RT△ECD中，ED=CE+CD，
222
∴2AD=BD+CD．
（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，
与（1）同理可证△ABE≌△ACD1， ∴BE=CD1，BE⊥BC， ∵BD=CD， ∴BD1=BE， ∴tan∠BD1E=
=
，
2
2
2
∴∠BD1E=30°，
∵∠EAD1=EBD1=90°，
∴四边形A、D1、B、E四点共圆， ∴∠EAB=∠BD1E=30°， ∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；
②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF． 同理可证：∠CFD2=30°， ∵∠FAD2=FCD2=90°，
∴四边形A、F、D2、C四点共圆， ∴∠CAD2=∠CFD2=30°， ∴∠BAD2=90°+30°=120°， 综上，∠BAD的度数为60°或120°．
点评： 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，四点共圆的判定，圆周角定理等，通过旋转得出全等三角形是本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可； （2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；
（3）由于OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可．
2
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+经过A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴
，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x﹣
2
x+；
则D点坐标为（﹣2，）．
（2）∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tan∠DAP=， ∴∠DAP=60°，
又∵△APQ为等边三角形，
∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD=
=2．
①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积． AP=t，
∵∠QAP=60°， ∴点Q的纵坐标为t?sin60°=∴S=×
t×t=
t．
2
t，
②当2＜t≤3时，如图：
此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上， 设QP与DC交于点H， ∵DC∥AP，
∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°， ∴△QDH是等边三角形，