2019年四川省绵阳市中考数学试题(含答案)

内容发布更新时间 : 2024/12/23 7:55:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。

b

解:(1)①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为(0,-2),c = -2 , - = 0 , b=0 , 2a点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点,a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2; ②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称,点B的坐标为(1,0); (2)∠BOC=∠PDB=90o,点P在直线x=m上,

设点P的坐标为(m,p), OB=1, OC=2, DB= m-1 , DP=|p| ,

OBDP1|p|m-11- m

①当△BOC∽△PDB时,= ,= ,p= 或p = , OCDB2m-122m-11- m

点P的坐标为(m, )或(m, );

22②当△BOC∽△BDP时,

OBDB1m-1

= ,= ,p=2m-2或p=2-2m, OCDP2|p|

点P的坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m);

m-11- m

综上所述点P的坐标为(m, )、(m, )、(m,2m-2)或(m,2-2m);

22(3)不存在满足条件的点Q。

点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上,

令点Q的坐标为(x, 2x2-2),x>1, 过点Q作QE⊥直线l , 垂足为E,△BPQ为等腰直角三角形,PB=PQ,∠PEQ=∠PDB, ∠EPQ=∠DBP,△PEQ≌△BDP,QE=PD,PE=BD,

m-1

① 当P的坐标为(m, )时,

2m-1

m-x = , m=0 m=1 2m-11

2x2-2- = m-1, x= x=1 22与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;

1- m

② 当P的坐标为(m, )时,

2

m-12

x-m= m=- m=1 291- m52x2-2- = m-1, x=- x=1 26与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;

③ 当P的坐标为(m,2m-2)时,

9

m-x =2m-2 m= m=1 25

2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1 2与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件; ④当P的坐标为(m,2-2m)时,

5x- m = 2m-2 m= m=1 1872x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1 6与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件; 综上所述,不存在满足条件的点Q。

25.(本题满分14分)

我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质,如在关线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题:

AO2?; (1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:

AD3(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;

AO2?,试判断O是△ABC的重AD3

(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)

S四边形BCGH(如图3),S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究 的最大值。

S△AGH AA

OO

BCC BDD (图2)(图1)

解:(1)证明:如图1,连结CO并延长交AB于点P,连结∵点O是△ABC的重心, ∴P是AB的中点,D是BC的中点,PD是△ABC的中位线,AC=2PD, ∠DPO=∠ACO,∠PDO=∠CAO,

ODPD1ADOD+OA1+23

△OPD∽△CA, = = , = = = ,∴

AOAC2AOOA22(2)点O是是△ABC的重心。

证明:如图2,作△ABC的中线CP,与 AB边交于点P,与△ABC中线AD交于点Q,则点Q是△ABC的重心,根据(1)中的证明可知

AGOHCBD(图3)PD。 AC // PD,

AO2 = ; AD3的另一条AQ2 = , AD3

AO2而 = ,点Q与点O重合(是同一个点),AD3是△ABC的重心;

(3)如图3,连结CO交AB于F,连结BOE,过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON,与AC、AB交于点M、N, ∵点O是△ABC的重心, OE1OF1∴ = , = , BE3CF3OMOE1

∵ 在△ABE中,OM//AB, = = ,OM

ABBE3ONOF1

在△ACF中,ON//AC, = = ,ON =

ACCF3OMOH

在△AGH中,OM//AH, = ,

AGGHONOG

在△ACH中,ON//AH, = ,

AHGH

11

ABAC33OMONOHOGABAC

∴ + = + =1, + =1, + = 3 , AGAHGHGHAGAHAGAH

所以点O

交AC于

分别

1

= AB, 31

AC, 3

令ABAC

AG = m , AH = n , m=3-n, ∵

S四边形BCGHS△ABC-S△AGH

S△AGH = S△AGH

,

S四边形BCGHS△AGH =

AB?AC-AG?AH

AG?AH =

AB?ACAG?AH -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- 3

2

)2

∴ 当

ACAH = n = 3

2

,GH//BC时, S四边形BCGHS△AGH 有最

附:BGCHABAC

AG + AH=1 或 AG + AH

=3 的另外两种证明方法

方法一:分别过点B、C作AD的平行线BE、CF,分GH于点E、F。

方法二:分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线,垂足分别为E、F、N、M。

下面的图解也能说明问题:

错误!

=

+ 5

4 , 大值 54 。

的作图。 别交直线

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