内容发布更新时间 : 2024/11/7 13:42:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
5 描述质点运动的状态参量的特性
状态参量包括：位置矢量r，速度矢量v （1）矢量性。注意矢量和标量的区别。 （2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
6 物理量的单位
今后的学习中，如果没有特别指明物理量的单位，那么所遇到的物理量的单位都使用国际单位(SI)。下面列出本节所介绍的物理量的单位：
位置：米(m) 位移、路程：米(m)
速度、速率、平均速度、平均速率：米/秒(m/s，ms-1) 加速度、平均加速度：米/秒2(m/s2，m.s-2)
7 本节小结
本节介绍了描述物体运动的一些物理量：位置、位移、路程、速度、速率、平均速度、平均速率、加速度、平均加速度等，并同时给出了这些量的矢量表示形式和在直角坐标系中的表示形式。
速度是表示物体位置变化快慢的物理量，加速度则是反映物体速度变化快慢的物理量，物体速度的变化包括速度方向的变化和速度大小的变化，任何一方面的变化都将引起物体速度的变化，因而产生加速度。
位置和速度是描述物体状态的两个物理量。
本节还介绍了运动方程和轨道方程的概念。轨道方程是物体经过的路径的数学表示形式，不是时间的显函数；运动方程则反映了物体的位置随着时间的变化关系，是时间的显函数。根据特定的问题求物体的运动方程是力学的一类重要问题。
学习本节要注意区别下列概念：
? 作为位移△r，其大小只能写成|△r |，而不能写成△r，二者的含义不同。 ? 位移和路程：位移是矢量，是位置的变化量，路程是标量，是物体经过
的轨迹的长度；一般情况下，物体的位移和路程不会相等。但当时间△t?0时，|dr|＝ds。
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? 速度、速率、平均速度、平均速率：速率与平均速率是标量，速度与平
均速度是矢量。平均速率是物体经过的路程与所用时间的比值。平均速度则是物体发生的位移与发生此位移所用时间的比值。速率是速度的大小。
例题 1 已知质点的运动方程为：r?Rcoswti?Rsinwtj，式中R，w为常量。求： (1)质点的轨道方程； (2) t1＝0，t2＝π/w时刻质点的位置矢量以及t2－t1时间内的位移。
解：(1)由题意知，
x?Rcoswt
y?Rsinwt
消去时间t得到轨道方程：
x2+y2=R2
因此，物体的运动轨道为半径为R的圆周，即物体作圆周运动。 (2) t1＝0时，r1?Ri?0j，位于x轴上距原点R处； t2＝π/w时，r2??Ri?0j，位于－x轴上距离原点R处；
位移
△r＝r2－r1＝－2Ri
负号说明，位移沿着x轴负方向。
例题 2 如图1.5所示，一人用绳子通过定滑轮拉着小车前进，小车位于高出绳端h的平台上，设人的速率v0不变。求当人离开滑轮的水平距离为s时小车的速度和加速度的大小。
解：(1) 选择参照物。人和小车都是相对于平台在运动，且人相对于平台的
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速率已知，为v0，所用选择平台作为参照物。
(2) 建立坐标系。以滑轮所在点O为原点，以人运动的方向为正方向，建立直角坐标系，则人的位置为s。设小车的位置为x。
(3) 求解小车的速度大小
由于绳子跨过定滑轮，因而绳子的长度不会发生改变。所以小车位置的变化率就等于绳子长度的变化率。即
v车?dxdl? (1.8) dtdt又
vds人?dt?v0 根据图1.5有
l2?s2?h2
将此式两边对时间t求导，得到
2ldldt?2sdsdt 由(1.8)～(1.10)式得到
vdxdlv人sv0s车?vdt?dt?人sl=s2?h2=s2?h2 (4)求小车加速度的大小
d2xd2小车的加速度：al车?dt2?dt2
人的加速度：a人?0 (人的速率v0不变) 由于l2?s2?h2，两端对时间求二阶导数得：
dldld2ldsdsd22dtdt?2lsdt2?2dtdt?2sdt2 而人的速率v0不变，所以d2sdt2?0。因而有
v2la2车?车?v0 即：
a?v22v220?v车0?v车l?s2?h2 (1.9) (1.10) 13
将（3）中v车的值带入上式得：
dva?车?dt
22v0h?s2?h322?
例3 一质点沿x 轴作直线运动，其位置与时间的关系为x = 10 + 8t－4t2, 求： （1）质点在第1秒，第2秒内的平均速度。 （2）质点在t =0、1、2秒时的速度。 解：直线运动中矢量可以用标量代替。
t=0为初始时刻，t=0 时质点所在位置称为初始位置，质点的速度称为初始速度，初始位置和初始速度通常称为质点运动的初始条件。
(1) t时刻：x?10?8t?4t2
t＋Δt时刻： x??x?10?8(t??t)?4(t??t)2
所以，Δt时间内的位移为：?x?8?t?8t?t?4(?t)2
vx??x?8?8t?4?t ?t于是第1秒内的平均速度为：v0?1?8?0?4?4m/s，与x轴正方向相同。 于是第2秒内的平均速度为：v1?2?8?8?4??4m/s，与x轴正方向相反。 (2) vx?dx?8?8t dtv0＝8m/s，与x轴方向相同。 t＝1，v1＝0时转向。
v2＝－8m/s，与x轴方向相反。
例4 a、b 两物体由一长为l 的刚性细杆相连，a、b可在光滑的轨道上滑行，设a 以恒定速率v 向左滑行，当α= 60o时，求物体b 的速度？
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y b α la v x 解：物体a的速度为：va?vx?物体b的速度：vb?vy?由x2?y2?l2得：2xdyj dtdxi??vi dtdxdydyxdx?2y?0 ，即 vb???j； dtdtdtydt因为：
dxx??v，而tg??，所以：vb?v tg(?)j dty当α= 60o时，vb＝1.73v。 沿着y轴正向。
例5 一个球体在某种液体中竖直下落，初速度v0=10m/s , 球在液体中的加速度a =－1.0v。求： 1、何时球停止运动，2、球停止前经过的路程。
dv??1.0v，所以有 解：由加速度的定义：a?dtdv???1.0??dt ?vv00积分得：
vtv?v0e?t (1)
由速度的定义：v?dy?v0e?t，得 dtyt?tdy?vedt 0??00积分得：
y?10?1?e?t? (2)
从（2）式看出t=∞时，y=10m。在利用（1）式可知t = 6.9s时，v = v0 /100，y=9.8995m。而t=9.2s时，v=v0 /1000，y=9.989m，可以认为小球几乎停止运动了。
推荐使用MatLab，Mathematic，MathCAD等数学软件进行绘图和计算。
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