内容发布更新时间 : 2024/12/24 20:48:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导 1.2.1 1.
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集. 疑难疏引 函数概念的正确理解:
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)=|x|,
2
与f(x)=x是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径. 函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.
(4)值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定. 2.函数的三要素
构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.
疑难疏引 核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A,值域C以及从A到C的对应法则f,称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数. 3
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足不等式a (3)满足不等式a≤x 疑难疏引 无穷大是个符号,不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义. 对于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b],都称数a和数b为区间的端点:a为左端点,b为右端点,称b-a为区间长度.这样,某些以实数为元素的集合就有三种表示法:集合表示法、不等式表示法和区间表示法. ●案例1 ( ) A. f(x)=x,g(x)=2nx2n B. f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈ZC. f(x)=x-2,g(t)=t-2 1?x2 D. f(x)=,g(x)=1+x 1?x 【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同;B中虽然定义域和值域都相同,但对应法则不同;C中尽管表示自变量的两个字母不同,但两个函数的三个要素是一致的,因此它们是同一函数;D中两函数的定义域不同.C符合. 【溯源】 给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否相同;二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时,两函数才可称为同一函数. 若判断两个函数不是同一个函数,只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数. 4.函数的定义域 函数定义域是函数y=f(x)自变量x的取值范围. 2 疑难疏引 (1)定义域不同,而对应法则相同的函数,应看作两个不同函数;如:y=x(x 20 ∈R)与y=x(x>0);y=1与y=x. (2)若未加以特别说明,函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合;在实际中,还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围. (3)常见函数定义域类型及求解策略: 如果给出具体解析式求定义域:一般首先分析解析式中含有哪几种运算,然后列出各运算对象的范围,组成不等式组,解不等式组,即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合: ①解析式是整式的函数,其定义域为R; ②解析式是分式的函数,其定义域为使分母不为零的实数的集合; ③解析式是偶次根式的函数,其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合. 复合函数f[g(x)]的定义域和f(x)定义域互相转化,要注意定义域就是x的取值范围,并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x的取值范围. 如果解析式是由实际问题得出的,则其定义域不仅是要使实际问题有意义,还必须是使思路分析式有意义的实数的集合. ●案例2 已知函数y=mx2?6mx?m?8的定义域为R,求实数m的取值范围. 【探究】 首先向不等式转化,在求m的取值范围时,由于m为二次项系数,∴要对其进行 2 分类讨论;当x∈R时,mx-6mx+m+8≥0恒成立. 当m=0时,x∈R. ?m?0,?m?0当m≠0时,?即? 2??0,(?6m)?4m(m?8)?0??解之,得0 【溯源】 由定义域是R求参数的取值范围问题,首先转化成含参不等式恒成立,然后利用 2 数形结合等方法列出相关条件,尤其注意在含x项问题中要对其系数进行讨论. 5.函数的 (1)在y=f(x)中f表示对应法则,不同的函数其含义不一样. (2)f(x)不一定是解析式,有时可能是“列表”“图象”. (3)符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值. ●案例3 ?x2,x?0?已知函数f(x)=?1,x?0根据已知条件分别求出f(1),f(-3),f[f(-3)],f{f ?0,x?0?[f(-3)]}的值. 【探究】 此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系. 2 答案:f(1)=1=1;f(-3)=0;f[f(-3)]=f(0)=1;f{f[f(-3)]}=f[f(0)] 2 =f(1)=1=1. 【溯源】 深刻理解复合函数的概念,注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应,这类问题是历年高考的热点. ●案例4 2 已知函数f(x+1)=x-1,x∈[-1,3],求f(x)的表达式. 2 【探究】 函数是一类特殊的对应,已知函数f(x+1)=x-1,即知道了x+1被法则“处理” 22 的结果是x-1,如果知道x-1是怎样由x+1演变得出的,也就知道f(x)的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”. 22 解法一:(配凑法)∵f(x+1)=x-1=(x+1)-2(x+1), 2 ∴f(x)=x-2x. 2 又当x∈[-1,3]时,(x+1)∈[0,4],∴f(x)=x-2x,x∈[0,4]. 解法二:(换元法)令x+1=t,则x=t-1,且由x∈[-1,3]知t∈[0,4], 222 ∴由f(x+1)=x-1,得f(t)=(t-1)-1=t-2t,t∈[0,4]. 22 ∴f(x)=(x-1)-1=x-2x,x∈[0,4]. 【溯源】 已知函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式一般有两种方法,一种是用配凑的方法,一种是用换元的方法. 所谓“配凑法”即把已知的f[g(x)]配凑成关于g(x)的表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求的f(x)的表达式; 所谓“换元法”即令已知的f[g(x)]中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表达式表示出x,后代入f[g(x)],化简成最简式. 需要注意的是,无论是用“配凑法”还是用“换元法”,在求出f(x)的表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件f[g(x)]中g(x)的范围一致,所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域. ●案例5 已知二次函数f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0)及点C(6,0),求f(x)的表达式. 2 【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数,其形式有:一般式f(x)=ax+bx+c(a、b、c∈R且a≠0);交点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a∈R且a≠0),其中x1、x2分别是f(x) 2 的图象与x轴的两个交点的横坐标;顶点式f(x)=a(x-m)+n(a∈R且a≠0),(m,n)是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数,所以可用待定系数法求解f(x),具体解法如下.