内容发布更新时间 : 2024/12/24 7:59:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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?（2）
?(an?b2n)；
n?122
解：0?（an?bn)2?an?2anbn?bn由比较判别法知该级数收敛
? （3）
?an
n?1n解：在（1）中取b1n?
n??既得?aa
nnbn?收敛n?1?n?1n
P85 习题7-3
1. 判别下列级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
?（1）
?(?1)n?11n?1n；
?? 解： 易见
?u1n?n?1?n?1n(p?12?1)发散
利用莱布尼兹定理，有 un?1n?1n?1?un?1,nl??imun?n??lim1n? 0 故原交错级数收敛，即为条件收敛.
?（2）
?(?1)nnn?13n?1；
u?1解：limn?1n?13nn??u?lim1n???1nn??3n3? 故绝对值级数?un收敛
n?1从而原级数绝对收敛 （3）
??sinna；n?1(n?1)2 16
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解： usinna1n?(n?1)2?(n?1)2 ??而级数
1（p?2?1)收敛 n?1(n?1)2所以原级数绝对收敛. ???5. 若an和
bn绝对收敛，证明下列级数也绝对收敛：n?1?n?1
????证：因为?an和n?1?bn绝对收敛，则n?1?an,n?1?bn收敛，由收敛级数性质n?1?而an?bn?an?bn,所以?(an?bn)绝对收敛n?1
P93 习题7-4
1. 求下列幂级数的收敛域：
??xn （2）n； n?1n?3R?liman(n?1)?3n?1解：n??a?limn?3n?1n??n?3? 当x?3时，级数为?1，发散n?1n
当x??3时，级数为??（-1）n,收敛n?1n故原级数的收敛域,?-为3,3） （8）
??(x?5)nn?1n；
??1）
(an?bn)；
n?1?知?（an?bn)收敛n?117
（班级 学号 姓名
令t?x?5,原级数成为??tnn?1nR?limannn??a?lim?1?1n?1n??n
?收敛区间为?1?y?1??1?x?5?1即4?x?6?n
当x?4时，级数成为?(?1),此莱布尼茨级数收敛n?1n?当x?6时，级数成为?1n?1n,发散综上所述，原级数收敛域为?4,6）?2. 求下列幂级数的收敛半径：（1）?(n?1)nxn； n?1n! 解：R?l?1n?iman?a?（n?2)n?1n!n?1nl?i?m(n?1)!?n(?n1?)nlinm??(2n1 ??n)?lim（1?1n?1 n??n?1)?e?收敛半径R?11
??e
4. 求下列幂级数的和函数： （1）
??nxn?1；
n?1解：收敛半径 R?lim|an|n??|a?limn?1 n?1|n??n?1
当x??1时，易见级数发散，则收敛区间为(?1,1)
?设和函数 S(x)??nxn?1
n?1先积分得， ?xn?1?0S(x)dx??x?0?nxdx???xnxn?1?dx??xn?x1?x n?1n?10n?1再两边求导得
S(x)?（x1?x)??1(1?x)2,(?1?x?1)
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??x2n?1（3）n?12n?1；
?x2n?1?x2n?1?先求导（?）???（2n?1）???12n?1n?1?x2n?1n?11?x2n再积分得
??x2n?1?n?12n?1?x101?x2dx?12ln1?x1?x,x?1
P101 习题7-5
1. 将下列函数展开成的幂级数，并求其成立的区间：
（1）f(x)?ln(a?x)；
解：f(x)?ln??a(1?x?x ?a)???lna?ln(1?a)?n?1 ?lna??（-1）nx(n?1)an?1n?0 收敛域为 ?1?xa?1??a?x?a （2）f(x)?e?x2；
解：由 ex???xn,有 n?0n!? ?e?x2?x2n?n!,x?(????, )n?0 （4）f(x)?cos2x。
解：cos2x?1?cos2x12?2?12??（-1）（?2x)2nn
n?0(2n)! ?1?(-1)n?22n?12???x2n,x?(??,??) n?0(2n)!6. 将函数f(x)?arctan1?x1?x展开成x的幂级数。 解：由f?(x)?1?n1?x2??(?1)?x2n,?1?x?1 n?0 19
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f(x)?f(0)??f?(x)dx??0xx?0?(?1)n?0n?x2ndx??n?0???1?n2n?1?x2n?1
又f(0)?arctan1?π 41?xπ?(?1)n2n?1故arctan???x,?1?x?1
1?x4n?02n?1
P110习题8-1
5.y?(C1?C2x)e（C1,C2是任意常数）是方程y?2y?y?0的通解，求满足初始条件yx?0?4,y
'6. 设函数y?(1?x)u(x)是方程y?2?x''''x?0??2的特解。
2y?(x?1)3的通解，求u(x)。 x?1
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