内容发布更新时间 : 2025/5/14 6:52:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2．4.1 抛物线的标准方程
学 习 目 标 1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点) 2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 核 心 素 养 1.通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养. 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养.
1．抛物线的定义
思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
[提示] 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) ?p，0? ?2???px＝－ 2?－p，0? ?2???px＝ 2?0，p? ?2???py＝－ 2 - 1 -
x2＝－2py(p＞0) ?0，－p? ?2???py＝ 2思考2：抛物线的标准方程y＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．
思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．抛物线y＝ax的准线方程是y＝2，则实数a的值为( ) 11
A. B．－ C．8 D．－8 8811122
B [由y＝ax，得x＝y，＝－2，a＝－.]
a4a82．抛物线y＝4x的焦点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) D [∵y＝4x，∴焦点F(1,0)．]
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
2
2
2
2
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－
4)代入，分别得方程为y＝－8x或x＝－y.]
2
2
(1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
求抛物线的标准方程 【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方
- 2 -
程为x＝2py(p>0)，又＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x＝8y.
2
(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为
2
p2
y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y＝2px和x＝－2p1y，得(－4)＝2p·3,3＝－2p1·(－4)， 169即2p＝，2p1＝.
34
16922
∴所求抛物线的标准方程为y＝x或x＝－y.
34(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为
2
2
2
2
x2＝－20y或y2＝－60x.
求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y＝ax(