内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:12:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
以BD为边进行构图,有3种情况,采用构造全等发进行求解. ∵D点坐标为(3,1515),所以N1,N2的纵坐标为 443315?x2?x?6?,解得x1??1,x2?3(舍) 424可得N2(?1,15),?M2(0,0) 41532315时,?x?x?6??,x1?1?14,x2?1?14 4424∴N3,N4的纵坐标为?∴N3(1?14,?1515),?M3(14,0),N4(1?14,?),?M4(?14,0) 44以BD为对角线进行构图,有1种情况,采用中点坐标公式进行求解. ∵N1(?1,151515),?M1(3?4?(?1),?0?),?M1(8,0) 444
4. (2019?湖南湘西州?22分)如图,抛物线y=ax+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点C.D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:AD=1:3. (1)求抛物线的解析式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;
(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为的坐标;若不存在,请说明理由;
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?若存在,求出点P (4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线
KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
【分析】(1)由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上,所以A(2,0);由OA=2,且OA:AD=1:3得AD=6.由于四边形ABCD为矩形,故有AD⊥AB,所以点D在第四象限,横坐标与A的横坐标相同,进而得到点D坐标.由抛物线经过点D.E,用待定系数法即求出其解析式.
(2)画出四边形MNGF,由于点F、G分别在x轴、y轴上运动,故可作点M关于x轴的对称点点M',作点N关于y轴的对称点点N',得FM=FM'、GN=GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'=M'N'最小,故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点
M、M'、N、N'坐标,即求得答案.
(3)因为OD可求,且已知△ODP中OD边上的高,故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E,把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算,故存在等量关系.设点P坐标为t,用t表示PE的长即列得方程.求得t的值要讨论是否满足点P在
x轴下方的条件.
(4)由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上,画出平移后的抛物线可知,点K由点O平移得到,点L由点D平移得到,故有K(m,0),L(2+m,0).易证KL平分矩形面积时,KL一定经过矩形的中心H且被H平分,求出H坐标为(4,﹣3),由中点坐标公式即求得m的值.
【解答】解:(1)∵点A在线段OE上,E(8,0),OA=2 ∴A(2,0)
∵OA:AD=1:3 ∴AD=3OA=6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D(2,﹣6)
∵抛物线y=ax+bx经过点D.E
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∴ 解得:
∴抛物线的解析式为y=x﹣4x
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(2)如图1,作点M关于x轴的对称点点M',作点N关于y轴的对称点点N',连接FM'、GN'、M'N' ∵y=x﹣4x=(x﹣4)﹣8 ∴抛物线对称轴为直线x=4
∵点C.D在抛物线上,且CD∥x轴,D(2,﹣6) ∴yC=yD=﹣6,即点C.D关于直线x=4对称 ∴xC=4+(4﹣xD)=4+4﹣2=6,即C(6,﹣6) ∴AB=CD=4,B(6,0)
∵AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM=90° ∴∠BAM=45° ∴BM=AB=4 ∴M(6,﹣4)
∵点M、M'关于x轴对称,点F在x轴上 ∴M'(6,4),FM=FM' ∵N为CD中点 ∴N(4,﹣6)
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∵点N、N'关于y轴对称,点G在y轴上 ∴N'(﹣4,﹣6),GN=GN'
∴C四边形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时,N'G+GF+FM'=M'N'最小 ∴C四边形MNGF=MN+M'N'=∴四边形MNGF周长最小值为12
(3)存在点P,使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D(2,﹣6) ∴OD=
2
=2
.
+10=12
.
,直线OD解析式为y=﹣3x
设点P坐标为(t,t﹣4t)(0<t<8),则点E(t,﹣3t) ①如图2,当0<t<2时,点P在点D左侧 ∴PE=yE﹣yP=﹣3t﹣(t﹣4t)=﹣t+t
2
2
∴S△ODP=S△OPE+S△DPE=PE?xP+PE?(xD﹣xP)=PE(xP+xD﹣xP)=PE?xD=PE=﹣t+t
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∵△ODP中OD边上的高h=,
∴S△ODP=OD?h
∴﹣t+t=×2
2
×
方程无解
②如图3,当2<t<8时,点P在点D右侧 ∴PE=yP﹣yE=t﹣4t﹣(﹣3t)=t﹣t
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