内容发布更新时间 : 2024/12/24 8:39:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
§3.2立体几何中的向量方法
——空间“角”问题
教学目标
1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
1、求解线线角、线面角、二面角的向量方法 2、建立合理的坐标系
教学难点
二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系
教学过程
一、知识储备（课前已让学生完成）
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：a?b?|a||b|cos?a,b?
cos?a,b??a?b|a||b|
a
（2）两向量夹角公式：
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量
二、复习引入
?O ?b 让学生回忆空间中的角。（目的：整体上把控今天的纲要内容， 同时让学生明白本节课空间向量是解决角的问题的新方法）
三、知识讲解与典例分析
知识点1：异面直线所成的角（范围：??(0,]）（提问）
2?（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，（小组讨论）
问题1： 当a与b的夹角不大于
90°时，异面直线a、b 所成
a的角?与a 和b 的夹角的关系？
O?b???a,b?问题 2：a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角
?与a 和b的夹角的关系？
ba?????a,b?O?结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为
知识点2、直线与平面所成的角（范围：??[0,]）（提问）
2?在课件上优先把例1拿出来让学生思考如何用传统方法找到线面角，然后再让学生共同探讨向量的方法
（目的：通过传统方法和向量法进行对比，让学生深刻感受到向量法的美好用处。）
思考：设平面?的法向量为n，则?n,BA?与?的关系？（小组讨论）
A?BnAA?O?B?O（图1） ?Bn?O（图2） ????2??n,BA?????n,BA???2据图分析可得：结论：
sin??|cos?n,AB?|
分析：（说明；给出板演过程，强调细节）
直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
（学生上黑板，两个学生上黑板，用不同的坐标系来解决此问题，目的让学生体会如何选择合理的坐标系）
知识点3：二面角（范围：??[0,?]）（提问）
（小组讨论）①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角??l??的大小为?，其中AB?l,AB??,CD?l,CD??.
②法向量法
结论： 或 cos??cos?n,n?12cos???cos?n1,n2?归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
例3、如图，ABCD是一直角梯形，?ABC?90?，SA?面ABCD，
SA?AB?BC?1，AD?1，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值. 2（给出详细的板演过程，规范答题步骤） 解：
zSBAxCDy
又n1方向朝面内，n2方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角