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（1）以时间（年）为横轴，以汇率（ER）与两个消费者价格指数为纵轴作图。 （2）求相对价格比率（RPR）（用英国CPI除美国CPI）。 （3）用ER对RPR作图。
（4）目测描绘通过散点图的回归线。 答：（1）如图所示，两个国家的消费者价格指数均随着时间的推移而增长，但汇率与时间之间的关系在不同时期则有所不同，但在1985年广场协议签署之后，G7纷纷有意调低了美元对本国货币的汇率。
（2）、（3）、（4）从下图中可以看出，汇率（ER）（英镑兑美元）同相对价格比率（RPR）之间大致呈现负相关关系。
第二章 线性回归的基本思想：双变量模型
2.1 复习笔记
一、回归的含义 1．回归分析的概念
回归分析用于研究一个变量（称为被解释变量或应变量）与另一个或多个变量（称为解释变量或自变量）之间的关系，但它并不一定表明存在因果关系；即它并不意味着自变量是因，应变量是果。如果两者之间存在因果关系，则一定建立在某个经济理论基础之上。总之，回归并不意味着存在因果关系，因果关系的判定或推断必须建立在经实践检验的相关理论基础之上。
2．回归分析的目的
（1）根据自变量的取值，估计应变量的均值。 （2）检验（建立在经济理论基础之上的）假设。
（3）根据样本外自变量的取值，预测应变量的均值。 （4）可同时进行上述各项分析。
二、总体回归函数（PRF）
双变量模型的线性总体回归函数如下式所示：
E?YXi??B1?B2Xi （2-1）
在式（2-1）中，EYXi表示与给定X值相对应的Y的均值。下标i代表第i个子总体。B1、B2称为参数，也称为回归系数。B1称为截距，B2称为斜率。斜率系数度量了X每变动一单位，Y（条件）均值的变化率。
三、总体回归函数的统计或随机设定
总体回归函数给出了自变量每个取值相应的应变量的平均值，但对每一个个体，其应变量并不一定等于平均值，而是存在一定的偏差，因此总体回归函数的随机形式如下式所示：
Yi?B1?B2Xi?ui （2-2）
其中，ui表示随机误差项，或简称为误差项。误差项是一个随机变量，其值无法先验确定，通常用概率分布（例如正态分布或t分布）描述随机变量。
式（2-2）称为随机或统计总体回归函数；而式（2-1）称为确定或非随机总体回归函数。后者表示给定X各个Y的平均值。而前者表示由于误差项的存在，个体值在均值附近是如何变动的。
四、随机误差项的性质
1．误差项代表了未纳入模型变量的影响； 2．误差项代表内在随机性； 3．误差项代表了度量误差；
4．误差项代表众多的细小影响因素。
五、样本回归函数
要估计式（2-1）的总体回归函数，只要求出相对每个X的Y的条件均值，然后再把这些均值连接起来，就得到了总体回归线。但是实际中很少能够获得整个总体的数据。通常，仅仅有来自总体的一个样本，因此就需要根据样本信息估计总体回归函数。
样本回归函数形式为：
????b?bX （2-3） Yi12i
?=总体条件均值EYX的估计量；b1?B1的估计量；b2?B2的估计量。 其中，Yii??同理，并非所有的样本数据都准确地落在各个样本回归线上。因此，与建立随机总体回归函数式（2-2）一
样，需要建立随机样本回归函数：
Yi?b1?b2Xi?ei （2-4）
其中，ei是ui的估计量。ei称为残差项，简称残差。从概念上讲，它与ui类似，可作为ui的估计量，SRF中ei的产生原因与PRF中ui的产生原因相同。ei表示了Y的实际值与根据样本回归得到的估计值的差。
? （2-5） ei?Yi?Yi总之，回归分析的主要目的是根据样本回归函数
Yi?b1?b2Xi?ei
估计总体回归函数
Yi?B1?BXi?ui
因为通常的分析是建立在来自某个总体的单个样本上的。但由于抽样的差异性，根据SRF得到的PRF的估计值仅仅是近似值。事实上，无法观察到B1、B2和u。一旦得到某个样本，所能观察到的只是它们的替代量b1、
b2和e。
六、“线性”回归的特殊含义 1．变量线性
变量的线性是指应变量的条件均值是自变量的线性函数，所以下面的函数不是线性的：
E(Y)?B1?B2Xi2 （2-6）
E(Y)?B1?B21 （2-7） Xi因为在式（2-6）中Xi以平方形式出现，而在式（2-7）中Xi以倒数形式出现。对于解释变量线性的回归模型，解释变量的单位变动引起的应变量的变化率为一常数，也就是说，斜率保持不变。但对于解释变量非线性的回归模型，斜率是变化的。
2．参数线性
参数线性是指应变量的条件均值是参数B的线性函数，而变量之间并不一定是线性的。与变量线性函数类似，如果参数B2仅以一次方的形式出现，则称函数为参数线性的。按照这个定义，模型（2-6）和式（2-7）都是线性模型，因为B1、B2以线性形式进入模型，变量X以非线性进入模型则无关紧要。但下面的模型是参数非线性的，因为B2以平方形式出现：
2E(Y)?B1?B2Xi （2-8）
在计量经济学中，线性回归是指参数线性的回归（即参数仅以一次方的形式出现在模型中），而解释变量并
不一定是线性的。
七、从双变量回归到多元线性回归