内容发布更新时间 : 2025/3/16 19:31:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 基本概念
§1.1 集 合
1.指出下列各命题的真假.
(1)1?{1}; (2)1?{1}; (3)1?{1}; (4){1}?{1}; (5){1}?{1}; (6){1}?{1,{1}}; (7)??{1}; (8)??{1}; (9)??{1}; (10)???; (11)???; (12)???. 解 命题(1),(5),(6),(8),(9)和(11)为真命题,其余都是假命题.
2.设U?{a,b,c,d,e,f,g,h},M?{a,c,e,h},N?{a,d,e,f,g},求M?N,
M?N,M\\N,N\\M,M'?N',M'?N'.
解 M?N?{a,c,d,e,f,g,h};M?N?{a,e};M\\N?{c,h};
N\\M?{d,f,g}; M'?N'?{b,c,d,f,g,h};M'?N'?{b}.
3.设A,B是两个集合,若A?B?A?B,证明:A?B.
证明 假设A?B?A?B.则A?A?B?A?B?B?A?B?A?B?A.因此
A?B.
4.设A,B,C是三个集合,若A?B?A?C,A?B?A?C,证明:B?C.
证明 考察任意的x?B:若x?A,则由A?B?A?C可知x?C;若x?A,则由
A?B?A?C可知x?C.由此可见,B?C.同理可证,C?B.所以B?C.
5.证明下列三命题等价:
(1)A?B;(2)A?B?A;(3)A?B?B. 证明 我们有
A?B?A?A?A?A?B?A?A?B
?A?B?(A?B)?B?B?A?B?B ?A?B.
所以命题(1),(2)和(3)两两等价.
6.设A,B,C是三个集合,证明:
(1)A\\B?A\\(A?B); (2)A\\(A\\B)?A?B;
(3)A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C); (4)A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C); (5)A?(B\\C)?(A?B)\\(A?C); (6)(A\\B)?(B\\A)?(A?B)\\(A?B). 证明 (1)对于任意的元素x,我们有
x?A\\B?x?A且x?B?x?A且x?A?B?x?A\\(A?B).
所以A\\B?A\\(A?B)
(2)对于任意的元素x,我们有
x?A\\(A\\B)?x?A且x?A\\B?x?A且x?B?x?A?B.
1
所以A\\(A\\B)?A?B.
(3)对于任意的元素x,我们有
x?A\\(B?C)?x?A,x?B,x?C
?x?A\\B且x?A\\C?x?(A\\B)?(A\\C).
所以A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C).
(4)对于任意的元素x,我们有
x?A\\(B?C)?x?A,x?B或x?C
?x?A\\B或x?A\\C?x?(A\\B)?(A\\C)
所以A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C).
(5)对于任意的元素x,我们有
x?A?(B\\C)?x?A,x?B,x?C
?x?A?B,x?A?C?x?(A?B)\\(A?C).
所以A?(B\\C)?(A?B)\\(A?C).
(6)对于任意的元素x,我们有
x?(A\\B)?(B\\A)?x?A且x?B,或者,x?B且x?A ?x?A?B且x?A?B?x?(A?B)\\(A?B).
所以(A\\B)?(B\\A)?(A?B)\\(A?B).