内容发布更新时间 : 2025/4/3 7:23:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第六章 二次型
??B1?与???合同. A2??B2??T 证：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1?C1A1C1，
T 因为A2与B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2?C2A2C2.
1．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明? 令 C???A1?C1???，则C可逆，于是有 C2?T1??C1?B1??C1TAC??A1??C11 ???????????TBCACAC?2??2??2???222??A1??B1?即 ?与???合同.
AB?2??2? 2．设A对称，B与A合同，则B对称
证：由A对称，故A?A.
因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使B?CAC，于是
TA?T?1??C?C?2???CA2?TBT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B
即B为对称矩阵.
3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使
PTAP与PTBP均为对角阵.
证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使
MTAM?E
记B1?MBM，则显然B1是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使
TQTB1Q?D?diag(?1,其中?1,,?n为B1?MTBM的特征值.
,?n)
令P=MQ，则有
PTAP?E,PTBP?D
A,B同时合同对角阵.
4．设二次型f??(ai?1mi11x??ainxn)2，令A?(aij)m?n，则二次型f的秩等于r(A).
证：方法一 将二次型f写成如下形式：
f??(ai1x1?i?1m?aijxj??ainxn)2
设Ai= (ai1,
,aij,,ain) (i?1,?,m)
·107·
?a11??则 A??ai1???a?m1a1n??A1???????aijain???Ai?
????????amjamj???Am??A1?????mTTTT于是 AA?(A1,,Ai,,Am)?Ai???AiTAi
??i?1???A??m??ai1?????mm22故 f??(ai1x1??aijxj??ainxn)=?[(x1,xj,xn)?aij?]
??i?1i?1???a??in??ai1??x1??x1?????????????mmT =?[(x1,xj,xn)?aij?(ai1,aij,ain)?xj?]=(x1,xj,xn)(?AiAi)?xj?
??????i?1i?1???????a??x??x??in??n??n? =X(AA)X
因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然
TTTa1jTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A) ．
方法二 设yi?ai1x1??ainxn,i?1,,n. 记Y?(y1,,ym)T，于是
Y?AX，其中X?(x1,mi?1,xn)T，则
2?ym?YTY?XT(ATA)X.
f??yi2?y12?TT 因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然
r(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A) ． T 5．设A为实对称可逆阵，f?xAx为实二次型，则A为正交阵?可用正交变换将f化成规范形.
证：?设?i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以?i是实数，且
?i?0,i?1,,n.
因为A是实对称矩阵，故存在