内容发布更新时间 : 2025/4/26 20:27:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且则m的值为 8 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，圆心到准线的距离d=
=2
，解出即可得出．
，
，可得
【解答】解：抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣， 圆心（﹣1，0）到准线的距离d=∴
=2
，化为：
，
=1，m≠0，解得m=8．
故答案为：8． 16． 已知△ABC为等边三角形，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的最大值是 3 ．【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】以BM为边作等边三角形BMK，推导出A在以K为圆心，以1为半径的圆上，由此能求出MA的最大值．
【解答】解：以BM为边作等边三角形BMK， 则BM=BK=MK=2， ∵∠BMK=∠ABC=60°， ∴∠ABK=∠MBC，
又AB=BC，BK=BK，∴△ABK∽△CBM，
∴AK=MC=1，∴A在以K为圆心，以1为半径的圆上， ∴|MK|﹣1≤|AM|≤|MK|+1， ∴1≤|AM|≤3．
∴MA的最大值是3． 故答案为：3．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}满足a1=，且an+1=3an﹣1，bn=an﹣． （1）求证：数列{bn}是等比数列． （2）若不等式
≤m对?n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．
【分析】（1）由题意可得an+1﹣=3（an﹣），即为bn+1=3bn，由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得bn=3n﹣1，由题意可得m≥
的最大值，求得f
（n）==+，为递减数列，可得最大值，进而得到m的范围．
【解答】解：（1）证明：an+1=3an﹣1， 可得an+1﹣=3（an﹣）， 即为bn+1=3bn，
则数列{bn}是首项为a1﹣=1，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得bn=3n﹣1， 不等式
≤m对?n∈N*恒成立，即有
m≥的最大值，
由f（n）==+，
由3n递增，可得f（n）递减， 即有f（1）取得最大值1，
则m≥1，即有m的范围是[1，+∞）． 18．某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．
（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；
（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄； （Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数分别为10，30，40，20人； 估计所有玩家的平均年龄为0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37岁；
（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．
∴抽取结果共有15种，列举如下： （ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd）， （cm），（cn），（dm），（dn），（mn）
设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种， 则
，∴这两人在不同年龄组的概率为
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=2，BD=4，点M、N分别为BD、BC的中点，将其沿对角线BD折起成四面体QBCD，使平面QBD⊥平面BCD，P为QC的中点．
（1）求证：PM⊥BD；
（2）求点D到平面QMN的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）证明QD⊥平面BCD，得到QD⊥DC，QB⊥BC，证明M是BD的中点．然后证明PM⊥BD．
（Ⅱ）设点D到平面QMN的距离为h，利用等体积法，转化求解点D到平面QMN的距离．
【解答】解：（Ⅰ）∵平面QBD⊥平面BCD，QD⊥BD， 平面QBD∩平面BCD=BD，
∴QD⊥平面BCD，∴QD⊥DC， 同理QB⊥BC，… ∵P是QC的中点． ∴
，又M是DB的中点
∴PM⊥BD．…
（Ⅱ）∵QD⊥平面BCD，QD=BC=2，AB=4，M，N，P分别是DB、BC、QC的中点．
∴∴
又S△MND=1，…
设点D到平面QMN的距离为h ∵
所以点D到平面QMN的距离
20．已知椭圆C：（1）求椭圆C的方程； （2）过点
的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为
的离心率为
，右顶点A（2，0）．
．…
．
k2．求证：k1k2为定值，并求此定值．
【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为椭圆C的方程．
，右顶点A（2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出
（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为，与椭圆联立，得
，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明k1k2为
定值，并能求出此定值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
的离心率为
，右顶点A（2，0），
∴由题意得，解得
∴椭圆C的方程为．…
，
证明：（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为与
联立，得
，
△=9m2+7（m2+4）＞0，设B（x1，y1），D（x2，y2）， 则
…
=．
∴k1k2为定值，定值为
…
21．已知函数f（x）=（2x﹣1）ex，g（x）=ax﹣a（a∈R）． （1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；
（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率和切线的方程，代入（1，0），解方程可得切线的横坐标，进而得到a的值；
（2）令F（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，求出导数，对a讨论，分①当0≤a＜1时，②当a＜0时，判断F（x）的单调性，由不等式即可解得a的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R， f'（x）=ex（2x+1），